Rozkład wektora, zamiana zmiennych

[Emiel Regis]

Niech wektor \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f_{X,Y}}\).

Weźmy transformację \(\displaystyle{ T: \begin{cases} U=U(X, Y)\\V=V(X, Y)\end{cases}}\)
oraz do niej odwrotną \(\displaystyle{ T^{-1}: \begin{cases} X=X(U, V)\\Y=Y(U,V)\end{cases}}\)

Wtedy przy pewnych założeniach gęstość wektora \(\displaystyle{ (U, V)}\) wyraża się następująco:

\(\displaystyle{ f_{U, V}(u, v) = f_{X, Y}(x(u, v), y(u, v))|J(T^{-1})|}\)

No i jednym z założeń jest żeby ta transformacja się ładnie odwracała. Czy gdy nie da się jej jednoznacznie odwrócić to nic nie jesteśmy w stanie zrobić? W szczególności mam przykład o dość dużej symetrii i być może w nim dałoby się to obejść.

Mam rozkład wektora \(\displaystyle{ (X, Y) = \mathcal{N}(0, I_2)}\), a poszukuję rozkład \(\displaystyle{ (X, X^2+Y^2)}\). No i tutaj powyższe twierdzenie już nie pójdzie bo mam tak:
\(\displaystyle{ T: \begin{cases} U=X\\V=X^2+Y^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ T^{-1}: \begin{cases} X=U\\Y=\pm \sqrt{V-U^2}\end{cases}}\)

Czy gdyby brać tylko jedną gałąź Y to dałoby się przez jakieś np domnożenie otrzymać poprawny wynik?
Ewentualnie spróbuję liczyć ten rozkład bezpośrednio przez dystrybuantę ale też to nie wygląda zachęcająco.
W ogóle gęstość takiego rozkładu wyrazi się przy pomocy funkcji elementarnych?

[max]

Problem z brodą, ale wiem jak go rozwiązać i może się jeszcze komuś to przyda.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, Y).}\)
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})}\):
\(\displaystyle{ P((X,Y)\in B)= \iint_{B}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Interesuje nas:
\(\displaystyle{ P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z) = P(T(X,Y)\in (\infty, t]\times (-\infty, z]) =\\
= P((X,Y)\in T^{-1}((\infty, t]\times (-\infty, z])) = \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}} f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Dalej mamy:
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)}\)
więc:
\(\displaystyle{ F_{(X, X^{2} + Y^{2})}(t, z)P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z)= \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right) dxdy = \\
=\int\limits_{-\sqrt{z}}^{\min(\sqrt{z},t)}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx}\)

Dla \(\displaystyle{ tin (-infty,-sqrt{z}]cup [sqrt{z},infty)}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, X^{2} + Y^{2})}\) wyraża się więc wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = 0}\)
a dla \(\displaystyle{ t\in (-\sqrt{z},\sqrt{z})}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial t}\int\limits_{-\sqrt{z}}^{t}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx = \\
=\frac{\partial}{\partial z}\int\limits_{-\sqrt{z - t^{2}}}^{\sqrt{z - t^{2}}}\exp\left(-\frac{t^{2} + y^{2}}{2}\right)dy = \frac{1}{2\pi\sqrt{z-t^{2}}}\exp\left(-z\right)}\)

[Emiel Regis]

Tam na końcu w wykładniku oczywiście powinno być -z/2 ale to pewnie tylko literówkę zrobiłeś.

Heh, czyli jednak bezpośrednio przez dystrybuantę idzie... Rozpisałem tak samo jak Ty, tylko uparcie chciałem liczyć tamtą całkę po wycinku koła i do niczego nie doszedłem. Nie wiem czemu nie przeszedłem na gęstość. Wtedy jak widać elementarnie idzie: |

Widzę, że teorię prawdopodobieństwa poznajesz na uczelni bo buszujesz teraz w tym dziale: )

Zadanie wiekowe ale dobrze poznać na czym się kiedyś padło, dziękuję za pomoc!