zad z ciagu geometrycznego

[kermitex]

Liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...,a_{n}}\) sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego o dodatnich wyrazach. Zanjac sumy: \(\displaystyle{ S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ T=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+...+\frac{1}{a_{n}}}\) oblicz iloczyn \(\displaystyle{ I=a_{1}*a_{2}*a_{3}*...*a_{n}}\). Jak to rozwiazac? Moglby mi ktos po kolei opisac, co z tym zrobic? Z gory dziekuje!

[W_Zygmunt]

Zauważ, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...,a_{n}}\) to również ciąg
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_{1}},\frac{1}{a_{2}},\frac{1}{a_{3}},...,\frac{1}{a_{n}}}\) jest geometryczny- oznaczmy go \(\displaystyle{ b_{n}}\).
Znajdź jak wygląda pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
Teraz skorzystaj dwukrotnie z wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego.
Wyliczysz \(\displaystyle{ a_{1}}\) i q.
W wyrażeniu
\(\displaystyle{ I=a_{1}*a_{2}*a_{3}*...*a_{n}}\) zastąp kolejne \(\displaystyle{ a_{i}}\) przez \(\displaystyle{ a_{1}\cdot q^{i - 1}}\) , otrzymasz sumę ciągu arytmetycznego wykładników.

[kermitex]

A czy moglbys to jakos rozpisac, bo ja to probowalem, ale mi nic z tego nie wyszlo...

[W_Zygmunt]

Ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}\,=\,\frac{1}{a_{1}}}\)
\(\displaystyle{ b_{2}\,=\,\frac{1}{a_{2}}}\)\(\displaystyle{ b_{2}\,=\,\frac{1}{a_{2}}\,=\,\frac{1}{ a_{1}\cdot q }\,=\,\frac{1}{a_{1}}\cdot \frac{1}{q}}\)
\(\displaystyle{ b_{3}\,=\,\frac{1}{a_{3}}\,=\,\frac{1}{ a_{1}\cdot q^{2} }\,=\,\frac{1}{a_{1}}\cdot (\frac{1}{q})^{2}}\)
Jak widać
\(\displaystyle{ b_{1}\,=\,\frac{1}{a_{1}}}\)
\(\displaystyle{ q_{b}\,=\,\frac{1}{q}}\)
(powinno sie to dowodzić indukcyjnie!)
Stosując wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego mamy
\(\displaystyle{ S_{n}\,=\,a_{1}\cdot (\frac{ 1 - q^{n} }{ 1 - q })\,=\,S}\)
\(\displaystyle{ S_{bn}\,=\,b_{1}\cdot (\frac{ 1 - q_{b}^{n} }{ 1 - q_{b} }) \,=\,T}\)
Otrzymujemy układ dwóch równań o dwóch niewiadomych
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} a_{1}\cdot (\frac{ 1 - q^{n} }{ 1 - q }) &\,=\,&S\\ \frac{1}{a_{1}} (\frac{ 1 - (\frac{1}{q})^{n} }{ 1 - \frac{1}{q} }) &\,=\,&T\end{array}\right.}\)
i teoretycznie można znaleźć rozwiązanie.
Niestety nie jest to układ łatwy, gdyż dochodzimy do równania:
\(\displaystyle{ S\cdot \frac{ q - 1 }{ q^{n} - 1 } + q\cdot \frac{ (\frac{1}{q})^{n} - 1 }{ T\cdot (q - 1) }\,=\,0}\)
Być może dla konkretnych danych, da się rozwiązać.
Wyrażenie do obliczenia przekształcamy:
\(\displaystyle{ I\,=\,a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... a_{(n - 1)}\cdot a_{n}\,=\,}\)
\(\displaystyle{ \,=\,a_{1}\cdot q^{0}\cdot a_{1}\cdot q\cdot a_{1}\cdot q^{2}\cdot ... a_{1}\cdot q^{n - 1 - 1}\cdot{a_{1}}\cdot q^{n - 1}\,=\,}\)
\(\displaystyle{ \,=\,a_{1}^{n}\cdot q^{\frac{ 0 + n - 1 }{2}\cdot n}}\)
==
Może to mają być sumy nieskończone?

[Tomasz Rużycki]

Zauwazmy, ze \(\displaystyle{ S=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}}\) oraz \(\displaystyle{ T=\frac{1}{a_1}\cdot \frac{q^n-1}{q^n-q^{n-1}}}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{S}{T}=a_1^2q^{n-1}}\).

\(\displaystyle{ I=a_1^n\cdot q^{1+\ldots + n-1} = a_1^nq^{\frac{n(n-1)}{2}}=(a_1^2q^{n-1})^{n/2}=\left(\frac{S}{T}\right)^{n/2}}\).