Granica w zerze, L'Hospitala

[alien]

Witam, może ktoś pomóc mi w policzeniu tej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{1- \sqrt{cosx} }{1-cos \sqrt{x} }}\)
z góry dzięki za pomoc

[miodzio1988]

A problem to? Policz pochodną licznika i mianownika oddzielnie.

[alien]

czyli po policzeniu pochodnej wychodzi nam coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}sinx }{sin \frac{1}{2}x }}\)?

[miodzio1988]

Pewnie, że nie. Naucz się liczyc pochodne najpierw. pozniej rob takie zadania.

[alien]

sorka, nie liczyłem chwilę pochodnych, a kolega mnie poprosił
granica z czegoś takiego: \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{cosx} } sinx}{ \frac{1}{2} \sqrt{x}sin \sqrt{x} }}\) czy może nadal coś źle licze?

[Dasio11]

Mianownik jest źle, pierwiastek powinien być w (mniejszym) mianowniku:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1- \sqrt{\cos x} }{1-\cos \sqrt{x} }= \left[ H \right] = \lim_{x \to 0} \cfrac{ \ \cfrac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}} \ }{ \ \cfrac{\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \ }}\)

[alien]

Heh, faktycznie. No ale dalej nic z tego nie widać, dalej symbol nieoznaczony, jak bedziwy liczyc dalsze pochodne to będzie tak samo, czy jest jakis sposób w tym przypadku wywnioskowania albo dojścia do wyniku?: >

[Dasio11]

Od razu z tego:

\(\displaystyle{ \ldots = \lim_{x \to 0} \cfrac{ \ \cfrac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}} \ }{ \ \cfrac{\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \ } = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sin(\sqrt{x})}=\frac{0}{1} \cdot 1 =0}\)