Wzory rekurencyjne

[smokpysio66]

Obliczyć granicę ciągów podanych wzorami rekurencyjnymi:

\(\displaystyle{ a_{1}=2}\) , \(\displaystyle{ 2a_{n+1}=-a _{n} +3}\) ;
\(\displaystyle{ a_{1}=a}\) ,\(\displaystyle{ 2a_{n+1}=pa _{n} + q}\) gdzie \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\) ;

Proszę tylko o wyprowadzenie do postaci ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\).Dalej już sobie poradzę.

[frej]

Można z funkcji tworzących wyznaczyć wzór ogólny, można też tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_{n+2}=-a_{n+1}+3 \\ 2a_{n+1}=-a_{n}+3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2\left( a_{n+2}-a_{n+1}\right)=-\left( a_{n+1}-a_n \right)}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ b_n=a_{n+1}-a_n}\) skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{n+1}=-\frac{1}{2} b_n}\). Łatwo otrzymać wzór ogólny na \(\displaystyle{ b_n}\), a z tego \(\displaystyle{ a_n}\), bo
\(\displaystyle{ a_{n+1}=b_n+b_{n+1}+\ldots + b_2+b_1+a_1}\)

[abc666]

A czego nie skorzystać z tego że \(\displaystyle{ \lim _{n \to \infty }a_n=\lim _{n \to \infty }a_{n+1}}\) ?

[Wasilewski]

Pewnie dlatego, że najpierw trzeba dowieść istnienia granicy.

[abc666]

To wyznaczę wzór drugiego ciągu w ramach rehabilitacji :-p

\(\displaystyle{ 2a_{n+1}=pa_n+q \qquad |\cdot \frac{2^{n-1}}{p^n} \\
\frac{2^{n}}{p^n}a_{n+1}=\frac{2^{n-1}}{p^{n-1}}a_n+\frac{2^{n-1}}{p^n}q \\
b_n=\frac{2^{n}}{p^n}a_{n+1} \\
b_n=b_{n-1}+\frac{2^{n-1}}{p^n}q\\
b_n= b_1+q\sum_{k=2}^{n}\frac{2^{k-1}}{p^k} \\
b_n= b_1+\frac{1}{2}q \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2^{k+1}}{p^{k+1}}\\
b_n=b_1+\frac{1}{2}q \frac{ \frac{4}{p^2}\left(1- \left(\frac{2}{p}\right)^{n-1} \right) }{1- \frac{2}{p}}
=b_1+2q \frac{1-\left(\frac{2}{p}\right)^{n-1}}{p^2-2p}}\)

Wracając do podstawienia
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_2+2q \frac{\frac{p^n}{2^n}-\frac{p}{2}}{p^2-2p}}\)

Przypadek \(\displaystyle{ p=2}\) można rozpatrzeć osobno.

Prosiłbym jeszcze kogoś o sprawdzenie czy nie ma jakiś głupot.

[Wasilewski]

Nie chce mi się sprawdzać, ale myślę, że warto jednak skorzystać z Twojej poprzedniej rady; jeśli ten ciąg jest zbieżny, to jego granica jest równa \(\displaystyle{ \frac{q}{2-p}}\). Podstawiamy:
\(\displaystyle{ b_{n} = a_{n} - \frac{q}{2-p}}\)
i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ b_{n+1} = \frac{p}{2} \cdot b_{n}}\)
Teraz już łatwo można wyznaczyć warunek na p, by ciąg był zbieżny (a dla p=2 mamy rozbieżny ciąg arytmetyczny, chyba że q=0).
abc666, warunek na zbieżność wychodzi z Twojego wzoru dobry, więc nie jest źle.