wyznacz rząd elementu grupy

Kardana · Post autor: **Kardana** » 29 gru 2009, o 20:38

wyznacz rząd elementu grupy :
\(\displaystyle{ \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i \in C ^{*}}\)

Post autor: **Zordon** » 29 gru 2009, o 20:41

No to z definicji, niech tamta liczba to \(\displaystyle{ x}\), sprawdzamy dla jakiego najmniejszego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^n=1}\), wtedy \(\displaystyle{ n}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ x}\)

Kardana · Post autor: **Kardana** » 29 gru 2009, o 20:46

tzn. że jak rząd będzie 16 to mam to 16 razy do potęgi podnosić trochę jest tego liczenia nie ma jakiejś drogi na skróty???

Post autor: **Zordon** » 29 gru 2009, o 20:53

jest droga na skróty, ale trzeba zrozumieć najpierw działanie tej metody.

Kardana · Post autor: **Kardana** » 29 gru 2009, o 20:59

A czy mógłbyś mi wytłumaczyć tę "drogę na skróty"??
wiem, że muszę tak długo podnosić do potęgi aż uzyskam 1+0i (bo przy mnożeniu akurat to będzie elementem neutralnym w liczbach zespolonych), jednak chciałabym też poznać inna metodę

Post autor: **Zordon** » 29 gru 2009, o 21:10

jeśli się zacznie w zwykły sposób podnosić do kolejnych potęg, to widać, że to do niczego sensownego nie prowadzi, dlatego warto zamienić na postać trygonometryczną

Kardana · Post autor: **Kardana** » 29 gru 2009, o 21:12

z postaci trygonometrycznej tez ciężko cokolwiek uzyskać jest problem z kątem jakiś inny pomysł??

Post autor: **Zordon** » 29 gru 2009, o 21:19

wskazówka:

Ukryta treść:

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 30 gru 2009, o 21:07

To zderzymy się z zagadnieniem ustalenia, czy ten kąt jest współmierny z \(\displaystyle{ \pi}\), co nie jest łatwe.

Nieco inne podejście polega na zauważeniu, że ta liczba jest pierwiastkiem wielomianu:

\(\displaystyle{ z^2-\frac 65 z+1}\)

(Jest to wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ \frac 15\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}\) reprezentującej tę liczbę zespoloną.)

Skoro tak, to jest to co najwyżej pierwiastek pierwotny trzeciego stopnia z jedynki (bo to pierwiastek wielomianu stopnia 2 o współczynnikach wymiernych) jednak ten spełnia inne równanie, mianowicie \(\displaystyle{ z^2+z+1=0}\). Zatem dana liczba ma nieskończony rząd.