komutator, relacje do udowodnienia

[pla?cia]

\(\displaystyle{ [a,b]}\) jest komutotorem elementów \(\displaystyle{ a, b}\)
udowodnij , ze zachodzą nastepujące relacje:

a) \(\displaystyle{ [a,b]^{-1}=[b,a]}\)
b) \(\displaystyle{ [ab,c]=[a,c]^{b}[b,c]}\)
c) \(\displaystyle{ [a^{-1},b]=[b,a]^{a-1}}\)

[BettyBoo]

Wystarczy rozpisać każdą stronę każdej równości z definicji, a potem sprawdzić, że to jest to samo.

Pozdrawiam.

[pla?cia]

a mógłbyś to rozpisac, bo tak sie sklada ze mi nie wychodzi

[BettyBoo]

Np b)

\(\displaystyle{ [ab,c]=(ab)^{-1}c^{-1}abc=b^{-1}a^{-1}c^{-1}abc}\)

\(\displaystyle{ [a,c]^{b}[b,c]=b^{-1}(a^{-1}c^{-1}ac)b(b^{-1}c^{-1}bc)=b^{-1}a^{-1}c^{-1}a(c^{-1}bb^{-1}c)bc=b^{-1}a^{-1}c^{-1}abc}\)

Pozdrawiam.