[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 25 mar 2006, o 13:42

Zamieszczam tu zadania z VI PKM , poziom II , co prawda już po fakcie ,ale może ktoś zechce przedstawić tu swoje propozycje rozwiązań.

1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania \(\displaystyle{ 2x^2 -(m-1)x+(m+1)=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ |x_1-x_2|=1}\) ?

2. Udowodnij ,że liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3} +4n}\) dzieli się przez 120.

3. Trzy kolejne liczby całkowite są długościami boków trójkąta, a także sześciany tych liczb są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż ,że takich trójkątów jest nieskończenie wiele. Dla jakich trójek kolejnych liczb całkowitych będących długościami boków trójkąta ich sześciany nie są długościami boków trójkąta?


4. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wiedząc, że stosunek podstaw tego trapezu jest równy 2, a jego pole 45, oblicz pole każdego z tych trójkątów.

5. Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie \(\displaystyle{ b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2 )x+c^2 =0}\) ma pierwiastki rzeczywiste ?
Ostatnio zmieniony 13 lip 2006, o 14:27 przez Uzo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 25 mar 2006, o 14:29

1) \(\displaystyle{ |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}\).
2) \(\displaystyle{ \mbox{Ta suma} = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\).
3) Nierownosc trojkata.
4) Pewnie jakos z przyrownywania pol etc..
5) Nierownosc trojkata.

Zadan 3,4,5 nie chcialo mi sie robic do konca, ale wydaje mi sie, ze wyjda.

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 25 mar 2006, o 17:29

a ja w pierwszym kombinowałem ze wzorów Viete'a w ten sposób |x1-x2| = \(\displaystyle{ \sqrt{(x1+x2)^{2} - 4x1x2}}\)
:wink:

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Vixy » 25 mar 2006, o 18:13

dajcie jakas wskazówke do zadania 4...

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 25 mar 2006, o 19:23

w 4 te pola to mi powychodziły chyba 5,10,10,20 ale czy to jest dobrze ? Oto jest pytanie ale bawiłem się coś z porównywaniem ich
Ostatnio zmieniony 25 mar 2006, o 19:23 przez Uzo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 25 mar 2006, o 19:23



Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \Delta ECD\sim \Delta AEB}\), wiec \(\displaystyle{ x_2 = 2x_1}\).

\(\displaystyle{ S_{ABCD} = 45 = \frac{3a}{2}\cdot (x_1+x_2} = \frac{9ax_1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ ax_1=10}\).

\(\displaystyle{ S_{ECD} = \frac{1}{2}ax_1 = 5}\),
\(\displaystyle{ S_{ABE} = \frac{1}{2}2a\cdot 2x_1 = 2ax_1 = 20}\).

\(\displaystyle{ S_{ACD} = \frac{1}{2}a\cdot 3x_1 = 15}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE} = S_{ACD}-S_{CDE} = 15-5=10}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE}+S_{CEB} = 20}\), wiec \(\displaystyle{ S_{CEB} = 10}\).

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 25 mar 2006, o 19:26

czyli jednak No to jestem z siebie dumny , tylko szkoda ,ze tego nie uzasadniłem

Lilav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 2 maja 2005, o 17:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Lilav » 25 mar 2006, o 21:01

Fajny konkurs, a zadanie 4 moim skromnym zdaniem najłatwiejsze.

Jeszcze nie kminiłem 5.

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 25 mar 2006, o 21:57

w 5 chyba wyszedł mi wzór skróconego mnożenia i wyszło ,że równanie ma pierwiastki rzeczywiste , rzecz jasna według mnie a moge sie mylic

szpieg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 13 wrz 2005, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dlaczego?
Pomógł: 1 raz

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: szpieg » 25 mar 2006, o 22:16

hehe ale to rownanie nie bardzo ma pierwiastki rzeczywiste .

Awatar użytkownika
LecHu :)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 955
Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BFGD
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 161 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: LecHu :) » 25 mar 2006, o 23:17

To ja doloze zadania dla pierwszej klasy:
1.Rozwiaz w rzeczywistych rownanie \(\displaystyle{ (x^{2}+1)(y^{2}+1)=(x+y)^{2}+1}\).
2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
3.Wykaz ze jezeli a,b,c sa liczbami dodatnimi to:
\(\displaystyle{ ab+bc+ac>=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}}\).
4.Wykaz ze nie istnieje trojkat o wysokosciach 1,2,3.
5.W trojkacie ABC przedluzono przeciwprostokatna AB poza punkt a odkladajac odcinek AD o dlugosci AC oraz poza punkt B odkladajac odcinek BE o dlugosci BC. Uzasadnij ze kat DCE=135 stopni

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 25 mar 2006, o 23:36

A, napisze sobie jeszcze 3., i juz sie nie odzywam

\(\displaystyle{ ab+bc+ca=(\sqrt{ab})^2 + (\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ca})^2 q \sqrt{abbc}+\sqrt{bcca}+\sqrt{caab} = b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab} + a\sqrt{bc}}\), c. k. d.

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 26 mar 2006, o 09:57

to jak będzie z tym 5 na II poziomie ??

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 26 mar 2006, o 11:24

\(\displaystyle{ \Delta = (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}\)

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 26 mar 2006, o 18:23

no cos łapie a jeszcze może ktoś coś na temat 3 ??

ODPOWIEDZ