[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Zamieszczam tu zadania z VI PKM , poziom II , co prawda już po fakcie ,ale może ktoś zechce przedstawić tu swoje propozycje rozwiązań.
1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania \(\displaystyle{ 2x^2 -(m-1)x+(m+1)=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ |x_1-x_2|=1}\) ?
2. Udowodnij ,że liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3} +4n}\) dzieli się przez 120.
3. Trzy kolejne liczby całkowite są długościami boków trójkąta, a także sześciany tych liczb są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż ,że takich trójkątów jest nieskończenie wiele. Dla jakich trójek kolejnych liczb całkowitych będących długościami boków trójkąta ich sześciany nie są długościami boków trójkąta?
4. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wiedząc, że stosunek podstaw tego trapezu jest równy 2, a jego pole 45, oblicz pole każdego z tych trójkątów.
5. Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie \(\displaystyle{ b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2 )x+c^2 =0}\) ma pierwiastki rzeczywiste ?
1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania \(\displaystyle{ 2x^2 -(m-1)x+(m+1)=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ |x_1-x_2|=1}\) ?
2. Udowodnij ,że liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3} +4n}\) dzieli się przez 120.
3. Trzy kolejne liczby całkowite są długościami boków trójkąta, a także sześciany tych liczb są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż ,że takich trójkątów jest nieskończenie wiele. Dla jakich trójek kolejnych liczb całkowitych będących długościami boków trójkąta ich sześciany nie są długościami boków trójkąta?
4. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wiedząc, że stosunek podstaw tego trapezu jest równy 2, a jego pole 45, oblicz pole każdego z tych trójkątów.
5. Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie \(\displaystyle{ b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2 )x+c^2 =0}\) ma pierwiastki rzeczywiste ?
Ostatnio zmieniony 13 lip 2006, o 14:27 przez Uzo, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
1) \(\displaystyle{ |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}\).
2) \(\displaystyle{ \mbox{Ta suma} = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\).
3) Nierownosc trojkata.
4) Pewnie jakos z przyrownywania pol etc..
5) Nierownosc trojkata.
Zadan 3,4,5 nie chcialo mi sie robic do konca, ale wydaje mi sie, ze wyjda.
2) \(\displaystyle{ \mbox{Ta suma} = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\).
3) Nierownosc trojkata.
4) Pewnie jakos z przyrownywania pol etc..
5) Nierownosc trojkata.
Zadan 3,4,5 nie chcialo mi sie robic do konca, ale wydaje mi sie, ze wyjda.
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
a ja w pierwszym kombinowałem ze wzorów Viete'a w ten sposób |x1-x2| = \(\displaystyle{ \sqrt{(x1+x2)^{2} - 4x1x2}}\)
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
w 4 te pola to mi powychodziły chyba 5,10,10,20 ale czy to jest dobrze ? Oto jest pytanie ale bawiłem się coś z porównywaniem ich
Ostatnio zmieniony 25 mar 2006, o 19:23 przez Uzo, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \Delta ECD\sim \Delta AEB}\), wiec \(\displaystyle{ x_2 = 2x_1}\).
\(\displaystyle{ S_{ABCD} = 45 = \frac{3a}{2}\cdot (x_1+x_2} = \frac{9ax_1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ ax_1=10}\).
\(\displaystyle{ S_{ECD} = \frac{1}{2}ax_1 = 5}\),
\(\displaystyle{ S_{ABE} = \frac{1}{2}2a\cdot 2x_1 = 2ax_1 = 20}\).
\(\displaystyle{ S_{ACD} = \frac{1}{2}a\cdot 3x_1 = 15}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE} = S_{ACD}-S_{CDE} = 15-5=10}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE}+S_{CEB} = 20}\), wiec \(\displaystyle{ S_{CEB} = 10}\).
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
w 5 chyba wyszedł mi wzór skróconego mnożenia i wyszło ,że równanie ma pierwiastki rzeczywiste , rzecz jasna według mnie a moge sie mylic
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 13 wrz 2005, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dlaczego?
- Pomógł: 1 raz
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
hehe ale to rownanie nie bardzo ma pierwiastki rzeczywiste .
- LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 953
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
To ja doloze zadania dla pierwszej klasy:
1.Rozwiaz w rzeczywistych rownanie \(\displaystyle{ (x^{2}+1)(y^{2}+1)=(x+y)^{2}+1}\).
2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
3.Wykaz ze jezeli a,b,c sa liczbami dodatnimi to:
\(\displaystyle{ ab+bc+ac>=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}}\).
4.Wykaz ze nie istnieje trojkat o wysokosciach 1,2,3.
5.W trojkacie ABC przedluzono przeciwprostokatna AB poza punkt a odkladajac odcinek AD o dlugosci AC oraz poza punkt B odkladajac odcinek BE o dlugosci BC. Uzasadnij ze kat DCE=135 stopni
1.Rozwiaz w rzeczywistych rownanie \(\displaystyle{ (x^{2}+1)(y^{2}+1)=(x+y)^{2}+1}\).
2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
3.Wykaz ze jezeli a,b,c sa liczbami dodatnimi to:
\(\displaystyle{ ab+bc+ac>=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}}\).
4.Wykaz ze nie istnieje trojkat o wysokosciach 1,2,3.
5.W trojkacie ABC przedluzono przeciwprostokatna AB poza punkt a odkladajac odcinek AD o dlugosci AC oraz poza punkt B odkladajac odcinek BE o dlugosci BC. Uzasadnij ze kat DCE=135 stopni
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
A, napisze sobie jeszcze 3., i juz sie nie odzywam
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=(\sqrt{ab})^2 + (\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ca})^2 q \sqrt{abbc}+\sqrt{bcca}+\sqrt{caab} = b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab} + a\sqrt{bc}}\), c. k. d.
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=(\sqrt{ab})^2 + (\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ca})^2 q \sqrt{abbc}+\sqrt{bcca}+\sqrt{caab} = b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab} + a\sqrt{bc}}\), c. k. d.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
\(\displaystyle{ \Delta = (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}\)