Znaleźć granice funkcji

[Wilkołak]

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \frac{1+cosx}{sin^2x}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 8} \frac{8-x}{sin\frac{1}{8}\pi x}}\)

Może jakieś podpowiedzi?

Dobra, drugie jest jednak łatwe
2) \(\displaystyle{ \frac{1+cosx}{sin^2x} = \frac{1+cosx}{1-cos^2x} = \frac{1+cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} = \frac{1}{1-cosx}}\), a dla x dążącego do PI cosx zbiega do -1, więc całość do 1/2.

[miodzio1988]

3) Bylo masę razy. Podstawienie: \(\displaystyle{ x-8= t}\)
I korzystamy ze znanej nam granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{sinx}{x}=1}\)
jak nie chce ci się myslec to poszukaj tego przykladu.
2)Przez sprzezenie licznika wymnoz sobie licznik i mianownik. Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej
1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}= \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)
I powinna Ci się ta postac z czyms kojarzyc

[Wilkołak]

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}= \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)
I powinna Ci się ta postac z czyms kojarzyc

Od razu mi się skojarzyło, tylko nadal nie wiem jak ładnie pokazać, że to będzie e. Dla małych x (czyli x->0) \(\displaystyle{ x \approx sinx}\), ale czy można tak bezczelnie zrobić?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ (1+sinx)^{\frac{1}{x}}=[(1+sinx)^{\frac{1}{sinx}}]^{\frac{sinx}{x}}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{ln(1+sinx)}{x} } =e ^{1}=e}\)
Mozna tez to robic inaczej, ale jak się nie ma pomyslu to zawsze mozna tak sprobowac.

Czyli tak jak to zrobil Nakahed90

[Wilkołak]

Pewnie to też już było, ale nie wiem jak wyszukiwać konkretnych przykładów.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[2007]{1+x} -1}{2x+x^2}}\)

[aatomka]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[2007]{1+x}-1}{2x-x^2} =\lim_{x\to 0} \frac{e^{\ln (1+x)^{\frac {1}{2007}}}-1}{2x(x+1)}= \lim_{x\to 0}\frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{2x(x+1)}=
\lim_{x\to 0} \frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)} } \cdot \frac {\frac {1}{2007}\ln (1+x)}{ 2 x(x+1)} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)} } \cdot \lim_{x\to 0} \frac {\ln (1+x)}{ x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{4014(x+1)}= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4014}= \frac{1}{4014}}\)