Zwrotność relacji i słaba antysymetryczność

[Leop]

Mam taki oto problem. Niech \(\displaystyle{ X=\{a, b, c, d\}}\) Rozpatrzmy relacje \(\displaystyle{ R \subset X ^{2}}\) taką że: \(\displaystyle{ R=\{(a,b),(b,a),(c,a),(a,c),(c,d),(a,d)\}}\) Chcę sprawdzić czy jest słabo antysymetryczna. W tym celu biorę dowolne dwa elementy należące do X. Niech to będą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\). Jak widać \(\displaystyle{ (a,d) \in R \wedge (d,a) \notin R \wedge a \neq b}\) Tak więc implikacja, która jest warunkiem koniecznym i wystarczającym by relacja ta była słabo antysymetryczna jest prawdziwa( poprzednik implikacji jest fałszywy tzn. koniunkcja jest fałszywa i następnik jest fałszywy) jednak jak się okazuje relacja ta nie jest słabo antysymetryczna( jest to zadanie 4.10 zbiór zadań onyszkiewicza). Gdzie jest błąd?


Mam też drugi problem trzeba udowodnić , że jeśli \(\displaystyle{ I _{A} \subset R}\) (gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest polem relacji \(\displaystyle{ R}\)) to relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna. I tu znajduję taki głupi kontrprzykład:
Niech \(\displaystyle{ X=\{a, b, c, d\}}\) Rozpatrzmy relacje \(\displaystyle{ R \subset X ^{2}}\) taką ,że: \(\displaystyle{ R=\{(a,a),(b,b),(c,c)}\) Polem tej relacji jest zbiór: \(\displaystyle{ \{a,b,c\}}\). Tak więc identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\) ale \(\displaystyle{ R}\) nie jest zwrotne (para \(\displaystyle{ (d,d) \notin R}\)). Tak więc znów nie wiem co się dzieje;)

[miodzio1988]

1) Dowolność nie oznacza, że bierzesz sobie losowo jedną parę i sprawdzasz. Masz sprawdzic w tenm sposob wszystkie takie pary
2) Od kiedy to para \(\displaystyle{ (d,d)}\) nalezy do Twojej relacji.?? Sprawdzasz tylko te pary ktore naleza do relacji

[Jan Kraszewski]

Mam też drugi problem trzeba udowodnić , że jeśli \(\displaystyle{ I _{A} \subset R}\) (gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest polem relacji \(\displaystyle{ R}\)) to relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna.

Tu trzeba pewnego doprecyzowania: to twierdzenie jest prawdziwe tylko, gdy rozpatrujemy \(\displaystyle{ R}\) jako relację na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ R \subseteq A^2}\). Jeśli \(\displaystyle{ X \supset A}\) (czyli \(\displaystyle{ X}\) jest właściwym nadzbiorem \(\displaystyle{ A}\)), to \(\displaystyle{ R}\) nie jest zwrotna, gdy rozpatrujemy ją jako relację na zbiorze \(\displaystyle{ X}\). To powinno wyjaśnić Twoją wątpliwość.

JK

[Leop]

Tu trzeba pewnego doprecyzowania: to twierdzenie jest prawdziwe tylko, gdy rozpatrujemy R jako relację na zbiorze A, czyli R subseteq A^2. Jeśli X supset A (czyli X jest właściwym nadzbiorem A), to R nie jest zwrotna, gdy rozpatrujemy ją jako relację na zbiorze X. To powinno wyjaśnić Twoją wątpliwość.

Oto mi właśnie chodziło więc dziękuję. Swoją drogą w Onyszkiewiczu przynajmniej dwa zadania nie mają takiego doprecyzowania.