[Nierówności] Nierówności z trzema zmiennymi

[adak]

Czy ktoś mógłby mi pokazać dowody tych nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3}\)

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3 \ge \frac{3}{8} (a+b)(b+c)(c+a)}\)

[matteoosh]

Nierównośc pierwsza:
Co powiesz na dowód "nie wprost"?
Pozstawmy hipotezę, że dla dowolnych a,b,c nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} < 3}\)
Dla kontrprzykładu weźmy a=1, b=1, c=1. Otrzymujemy, że 3

[adak]

To ja teraz twoim sposobem udowodnię, że
a/b + b/a ≥ 5000 (oczywiście to nieprawda)

nie wprost:

a/b + b/a < 5000

a = 100000
b = 1/10000000

znalazłem kontrprzykład więc teza jest prawdziwa

[spajder]

Nierównośc pierwsza:
Co powiesz na dowód "nie wprost"?
Pozstawmy hipotezę, że dla dowolnych a,b,c nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} < 3}\)
Dla kontrprzykładu weźmy a=1, b=1, c=1. Otrzymujemy, że 3

[Tomasz Rużycki]

1) \(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\geq 3\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}} = 3}\) na mocy nierownosci miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna, co konczy dowod.

2) Nierówność jest równoważna następującej:

\(\displaystyle{ 4\sum_{sym} a^3 \geq 6abc+3\sum_{sym} a^2b}\), a na mocy nierówności Muirheada mamy \(\displaystyle{ \sum_{sym} a^3 \geq 6abc}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{sym} a^3\geq \sum_{sym} a^2b}\), co kończy dowód.

[szpieg]

jest rownowazna nierownosci \(\displaystyle{ 4\sum_{sym}a^{3} \geq 3abc+\frac{3}{2}\sum_{sym}a^{2}b}\) i pozniej \(\displaystyle{ \sum_{sym}a^{3}\geq3abc}\) i \(\displaystyle{ 3\sum_{sym}a^{3}\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}a^{2}b}\)

[Tomasz Rużycki]

Źle rozumiesz powszechnie stosowany zapis sumy symetrycznej. Przecież to suma \(\displaystyle{ f(a,b,c)}\) po wszystkich permutacjach, a jest ich \(\displaystyle{ 3!=6}\).

\(\displaystyle{ \sum_{sym} a^3 = 2(a^3+b^3+c^3)}\).

[szpieg]

aha. to sorry, namieszałem.
Ale skoro to jest suma po wszystkich permutacjach to czemu \(\displaystyle{ \sum_{sym}a^{3}=2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\) a nie \(\displaystyle{ \sum_{sym}a^{3}=6(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\)?

[Tomasz Rużycki]

Wiesz, co to wielomian symetryczny? Nie chce mi sie klepac definicji, ale wezmy sobie np. \(\displaystyle{ X_{2,1,0}(a,b,c) = a^2bc^0 + ab^2c^0 + a^0b^2c+a^0bc^2+ab^0c^2+a^2b^0c}\), mam nadzieje, ze juz rozumiesz, o co chodzi w tym sumowaniu.

W tym wypadku bierzesz sobie jakas funkcje trzech zmiennych, ustawien trzech 'elementow' jest 6, wiec suma bedzie miala szesc skladnikow.