Zbieżność szeregu

wojtek6214 · Post autor: **wojtek6214** » 19 gru 2009, o 00:18

Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{e^{log n}}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 gru 2009, o 00:26

Kryterium Cauchy'ego.

wojtek6214 · Post autor: **wojtek6214** » 20 gru 2009, o 14:53

Tzn.?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 gru 2009, o 14:56

Co tzn? No zastosuj to kryterium i zobacz co Ci wychodzi.

wojtek6214 · Post autor: **wojtek6214** » 20 gru 2009, o 15:02

Ale właśnie nie wiem co zrobić:
\(\displaystyle{ e^{- \frac{1}{n} logn}}\) i nie wiem co dalej czynić

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 gru 2009, o 15:06

Dalej to nalezy policzyc granice tego wyrazenia. Zrob to zatem (granice są przed szeregami więc powinienes to umiec zrobic)

wojtek6214 · Post autor: **wojtek6214** » 20 gru 2009, o 15:15

Nie wiem czy dobrze myślę, ale należy z Hospitala policzyć , bo ogółem wyszło mi \(\displaystyle{ (\frac{1}{e}) ^{ \infty }=0 <1}\) więc zbieżny ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 gru 2009, o 15:18

Hospital do ciągow? No sprytnie .....sprawdz na zalozenia tego twierdzenia. Masz funkcje rozniczkowalne? Dobrze policzysz granice to Ci dobry wynik wyjdzie. Mozesz tez z kryterium porownawczego to zrobic.

wojtek6214 · Post autor: **wojtek6214** » 20 gru 2009, o 15:26

A jak z porównawczego zrobić?
Do jakiego szeregu przyrównać?
Coś pokombinować z logn? Że np. logn>1 dla n >=11 , ale z tego nie wyjdzie

Post autor: **Gacuteek** » 20 gru 2009, o 16:35

Po prostu wystarczy go przekształcić:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{e^{log n}}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{e^{loge \cdot lnn}}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{loge}}}\)

\(\displaystyle{ loge<1}\)

z własności szeregów harmonicznych wiemy , że dany szereg jest rozbieżny.