Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjów woj. kuj.-pom.

Kiziula · Post autor: **Kiziula** » 19 gru 2009, o 18:10

Z powodu pierwszego zadania napisałam, że są ciekawe.
Pierwsze jest niejednoznaczne - nie ma napisane na jakich warunkach został zatrudniony robotnik: czy dostaje 16zł/1h za 16h + premię, czy 16zł/1h za przepracowane godziny + premię. A to, że na koniec dostał 20zł/1h, to chyba chodzi o to, że średnie zarobki wyszły 20zł/1h.

Moje rozwiązania:
1.
x - zaoszczędzone godziny
16-x - przepracowane godziny
75%*16*x=12x - premia za zaoszczędzenie x godzin

\(\displaystyle{ 16*(16-x)+12x=20*(16-x) \\
12x=(20-16)(16-x) \\
12x=4*16-4x \\
16x=4*16 \\
x=4 \\
16-x=12}\)

2.
60 sztuk - x zł
x sztuk - 15 zł

Proporcja:
\(\displaystyle{ 60/x=x/15 \\
x ^{2}=60*15=15*15*4 \\
x=15*2=30}\)
30 zł za 3 paczki, czyli 10 zł za 1 paczkę.

3.
Z podobieństwa trójkątów:
AS=x, BS=y, AB=9
CS=15-x, DS=20-y, CD=16
\(\displaystyle{ x/(15-x)=9/16 \\
16x=9*15-9x \\
25x=9*15 \\
x=5,4 \\
15-x=9,6 \\
\\
y/(20-y)=9/16 \\
16y=20*9-9y \\
25y=20*9 \\
y=7,2 \\
20-y=12,8}\)

Obwód ABS=9+5,4+7,2=21,6
Obwód CDS=16+9,6+12,8=38,4

4.
Mamy ośmiokąt foremny, prowadzimy odcinek prostopadły do dwóch jego boków (nazwijmy go AB).
Długość jego wynosi:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}+2}\)
Kąt między ścianą boczną a podstawą, to kąt między odcinkami prostopadłymi do krawędzi styku ściany i podstawy, czyli kąt między wysokością ściany a odcinkiem AB.

Bierzemy przekrój ostrosłupa. Ma on 2 boki które są wysokościami ścian bocznych i bok AB.
Trójkąt, w którym mamy 2 kąty o mierze 60º (2 kąty między wysokościami a bokiem AB), jest równoboczny.
Wysokość ściany bocznej jest więc więc równo długości odcinka AB.
Mamy wyliczyć pole boczne ostrosłupa (pole dachu):
Podstawa ściany bocznej (ściana boczna to trójkąt)=2
Wysokość ściany bocznej=\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}+2}\)
\(\displaystyle{ P=8* \frac{1}{2} *2*(2 \sqrt{2} +2) \\
P=8*(2 \sqrt{2}+2) \\
P=16 \sqrt{2}+16}\)

Mtt-Mmt · Post autor: **Mtt-Mmt** » 19 gru 2009, o 21:21

Obydwie odpowiedzi: "12 godz." oraz "14 godz." do zadania 1. uznane zostały za poprawne. =]

ema1994 · Post autor: **ema1994** » 20 gru 2009, o 11:20

Mtt-Mmt pisze:Obydwie odpowiedzi: "12 godz." oraz "14 godz." do zadania 1. uznane zostały za poprawne. =]

skąd wiesz ? xd

Mtt-Mmt · Post autor: **Mtt-Mmt** » 20 gru 2009, o 15:32

ema1994 pisze:skąd wiesz ? xd

Ja miałem odpowiedź "14 godz.", siostra miała "12 godz.", a ze swoich źródeł wiem, że mamy oboje za to zadanie 6 punktów.

michal0001 · Post autor: **michal0001** » 21 gru 2009, o 22:03

Mtt-Mmt
Po ile p mieliście?
Ile p do wojewódzkiego trzeba mieć?

Mtt-Mmt · Post autor: **Mtt-Mmt** » 22 gru 2009, o 17:34

michal0001 pisze:Po ile p mieliście?
Ile p do wojewódzkiego trzeba mieć?

18 [6,6,6,0] i 24 [4*6] pkt.
Próg wynosi 75% całości, a więc 18 pkt. Jest prawie pewnym, że go nie podwyższą, mogą go za to trochę obniżyć.

ema1994 · Post autor: **ema1994** » 24 gru 2009, o 14:22

zajebiście wtedy. ;d
jak uznali obydwie odpowiedzi .. przeszłam dalej ^^
ale .. pewne to jest ?

Kaleo · Post autor: **Kaleo** » 25 gru 2009, o 13:44

Kiziula pisze:Mamy ośmiokąt foremny, prowadzimy odcinek prostopadły do dwóch jego boków (nazwijmy go AB).
Długość jego wynosi:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}+2}\)

Dlaczego tak jest? Jak to wyliczyć?

Mtt-Mmt · Post autor: **Mtt-Mmt** » 25 gru 2009, o 15:11

Kaleo pisze:
Kiziula pisze:\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}+2}\)
Dlaczego tak jest? Jak to wyliczyć?

Weźmy ośmiokąt foremny \(\displaystyle{ ABCD..H}\). Odcinek \(\displaystyle{ AD}\) ma taką własność, że jest prostopadły do boków \(\displaystyle{ AH}\) i \(\displaystyle{ DE}\). Rzutujemy punkty \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) na odcinek \(\displaystyle{ AD}\), otrzymując odpowiednio punkty\(\displaystyle{ B'}\) oraz \(\displaystyle{ C'}\). Teraz możemy rozważyć figury \(\displaystyle{ ABB'}\), \(\displaystyle{ BCC'B'}\) i \(\displaystyle{ CDC'}\). Ponieważ \(\displaystyle{ BCC'B'}\) jest prostokątem, \(\displaystyle{ \left| \overline{C'B'} \right|=\left| \overline{BC} \right|}\). Trójkąty \(\displaystyle{ ABB'}\) i \(\displaystyle{ CDC'}\) są równoramienne prostokątne. Stąd \(\displaystyle{ \left| \overline{AB'} \right|=\left| \overline{C'D} \right|= \frac{a}{\sqrt{2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ a=\left| \overline{AB} \right|=\left| \overline{BC} \right|=\left| \overline{CD} \right|=2m}\). Sumując, mamy: \(\displaystyle{ \left| \overline{AD} \right|= \left| \overline{AB'} \right| + \left| \overline{B'C'} \right| + \left| \overline{C'D} \right| = 2 \cdot \frac{a}{ \sqrt{2} } + a = a \left( \sqrt{2}+1 \right) = \left( 2 \sqrt{2}+2\right) m}\)

ema1994 pisze:ale .. pewne to jest ?

Dopóki się nie ukażą oficjalne, końcowe wyniki, nie jest.

karcialon · Post autor: **karcialon** » 4 sty 2010, o 20:02

Może już ktoś wie, co z tym pierwszym zadaniem???
Bo moja pani podała mi liczbe punktów, ale nie wiem ile za poszczególne zadania.

michal0001 · Post autor: **michal0001** » 4 sty 2010, o 21:18

Zadania 1-4 po 6 punktów.
Maksymalnie wobec tego - 24p.
Wg informacji komisji w zadaniu 1 zostały zaliczone dwa rozwiązania.

marek7500 · Post autor: **marek7500** » 4 sty 2010, o 23:03

Moje gratulacje michal0001. Myślę, że jak będę w Twoim wieku też zrobię maksa. Niestety mam tylko 16 punktów i moje szanse na finał są żadne.

michal0001 · Post autor: **michal0001** » 5 sty 2010, o 15:25

marek7500 przeczytaj wcześniejsze posty.
Moja odpowiedź dotyczyła jak były punktowane zadania podczas tego konkursu - czy napisałem, że zdobyłem 24p.?!
Mam kilku znajomych z 18p i dlatego czekam na wyniki.