prosze o pomoc:)
\(\displaystyle{ \int tg ^{4} xdx}\)
1 myslalem o podstawieniu t=cosx
a potem myslalem by jakos to rozbic i dochodze do
\(\displaystyle{ x-2tg(x)+ \int \frac{1}{cos ^{4}x } dx}\)
i nie wiem jak rozbic ten ostatni skladnik
całka nieoznaczona z tg
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
całka nieoznaczona z tg
\(\displaystyle{ \int{\tan^{4}{x} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left( 1+t^2\right) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{1}{1+t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{t^4}{1+t^2} \mbox{d}t}}\)
A całkę
\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
liczysz w ten sposób
Przedstawiasz licznik w postaci jedynki trygonometrycznej
pierwsza całka się Tobie uprości drugą liczysz przez części
\(\displaystyle{ \int{ \frac{\cos^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }+ \frac{1}{3} \int{ \sin{x} \cdot \frac{3\sin{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =\tan{x}+ \frac{1}{3} \left( \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}- \int{ \frac{\cos{x}}{\cos^{3}{x}} \mbox{d}x } \right)}\)
\(\displaystyle{ =\tan{x}+ \frac{1}{3} \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}- \frac{1}{3}\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2}{3}\tan{x}+\frac{1}{3} \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3} \frac{\sin{x} \cdot \left(1+2\cos^{2}{x} \right) }{\cos^{3}{x}}+C}\)
Jak chciałeś rozbijać na sumę to mogłeś od razu w ten sposób
\(\displaystyle{ \int{\tan^{4}{x} \mbox{d}x }= \int{ \frac{\sin^{2}{x} \left(\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x} \right)-\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} }{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ = \int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }- \int{ \frac{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }- \int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)
i teraz obydwie całki przez części
Można też od razu scałkować też przez części
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left( 1+t^2\right) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{1}{1+t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{t^4}{1+t^2} \mbox{d}t}}\)
A całkę
\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
liczysz w ten sposób
Przedstawiasz licznik w postaci jedynki trygonometrycznej
pierwsza całka się Tobie uprości drugą liczysz przez części
\(\displaystyle{ \int{ \frac{\cos^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }+ \frac{1}{3} \int{ \sin{x} \cdot \frac{3\sin{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =\tan{x}+ \frac{1}{3} \left( \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}- \int{ \frac{\cos{x}}{\cos^{3}{x}} \mbox{d}x } \right)}\)
\(\displaystyle{ =\tan{x}+ \frac{1}{3} \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}- \frac{1}{3}\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2}{3}\tan{x}+\frac{1}{3} \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3} \frac{\sin{x} \cdot \left(1+2\cos^{2}{x} \right) }{\cos^{3}{x}}+C}\)
Jak chciałeś rozbijać na sumę to mogłeś od razu w ten sposób
\(\displaystyle{ \int{\tan^{4}{x} \mbox{d}x }= \int{ \frac{\sin^{2}{x} \left(\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x} \right)-\sin^{2}{x}\cos^{2}{x} }{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x}}\)
\(\displaystyle{ = \int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }- \int{ \frac{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{4}{x}} \mbox{d}x }- \int{ \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)
i teraz obydwie całki przez części
Można też od razu scałkować też przez części