Dla jakich wartości parametrów a i b zbiór rozwiązań układu jest: jednoelementowy, nieskończony, pusty.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x - 2y + z = b \\ 5x -8y + 9z = 3 \\ 2x + y + az = -1\end{cases}}\)
Dziękuję za pomoc.
Równanie liniowe z parametrami
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie liniowe z parametrami
Trochę dziwne, że nie znasz, chociaż oczywiście można to rozwiązać bez tw Kroneckera-Capellego.
Ponieważ macierz współczynników jest kwadratowa, to można skorzystać na początek z Tw Cramera (tylko mi nie mów, że tez nie znasz ). Układ ma dokładnie 1 rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest niezerowy. Stąd masz warunek na a, aby układ miał dokładnie 1 rozwiązanie (b dowolne).
Trzeba jeszcze sprawdzić co się dzieje, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy 0. Wstawiasz obliczoną wartość dla a do układu i normalnie rozwiązujesz. Z tego Ci wyjdą warunki na b.
Pozdrawiam.
Ponieważ macierz współczynników jest kwadratowa, to można skorzystać na początek z Tw Cramera (tylko mi nie mów, że tez nie znasz ). Układ ma dokładnie 1 rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest niezerowy. Stąd masz warunek na a, aby układ miał dokładnie 1 rozwiązanie (b dowolne).
Trzeba jeszcze sprawdzić co się dzieje, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy 0. Wstawiasz obliczoną wartość dla a do układu i normalnie rozwiązujesz. Z tego Ci wyjdą warunki na b.
Pozdrawiam.
Równanie liniowe z parametrami
Macierz główna układu: \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3&-2&1\\5&-8&9\\2&1&a\end{bmatrix} \\
r(A)=3 \iff \det (A) =11a-66 \neq 0 \iff a \neq 6}\)
W pozostałych wypadkach r(A)=2 niezależnie od parametrów.
Macierz rozszerzona układu:
\(\displaystyle{ U= \begin{bmatrix} 3&-2&1&b \\ 5&-8&9&3 \\ 2&1&a&-1 \end{bmatrix}}\)
Jej rząd jest różny od 3 jeśli jednocześnie
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3&-2&1\\5&-8&9\\2&1&a \end{vmatrix} = 0 \iff a=6}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -2&1&b \\-8&9&3\\1&a&-1 \end{vmatrix} = 23-8ab+9b-6a = 0}\)
to znaczy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=6 \\ b=-\frac{1}{3} \end{cases}}\)
i wówczas rząd macierzy wynosi 2 niezależnie od parametrów.
Jeżeli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=6 \\ b\neq -\frac{1}{3} \end{cases}}\), r(A)=2 i r(U)=3, wtedy układ równań jest nie do rozwiązania na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Mam nadzieję, że to trochę rozjaśniło, ustalenie reszty przypadków pozostawiam do samodzielnego rozwiązania.
Pozdrawiam,
Michał "Tarnoob" Tarnowski
r(A)=3 \iff \det (A) =11a-66 \neq 0 \iff a \neq 6}\)
W pozostałych wypadkach r(A)=2 niezależnie od parametrów.
Macierz rozszerzona układu:
\(\displaystyle{ U= \begin{bmatrix} 3&-2&1&b \\ 5&-8&9&3 \\ 2&1&a&-1 \end{bmatrix}}\)
Jej rząd jest różny od 3 jeśli jednocześnie
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3&-2&1\\5&-8&9\\2&1&a \end{vmatrix} = 0 \iff a=6}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -2&1&b \\-8&9&3\\1&a&-1 \end{vmatrix} = 23-8ab+9b-6a = 0}\)
to znaczy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=6 \\ b=-\frac{1}{3} \end{cases}}\)
i wówczas rząd macierzy wynosi 2 niezależnie od parametrów.
Jeżeli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=6 \\ b\neq -\frac{1}{3} \end{cases}}\), r(A)=2 i r(U)=3, wtedy układ równań jest nie do rozwiązania na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Mam nadzieję, że to trochę rozjaśniło, ustalenie reszty przypadków pozostawiam do samodzielnego rozwiązania.
Pozdrawiam,
Michał "Tarnoob" Tarnowski