Trzy granice fukcji - reguła de l'Hospitala

[pejter123]

Witam,

Potrzebuję pomocy w sprawie trzech granic:
a. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty-} x(e^{\frac{1}{x}}-1)}\)
b. \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^{-}} \frac{tg3x}{x^{3} }}\)
c. \(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} (1-x) ^{cos\frac{\Pi x}{2}}}\)

W przykładzie (a.) wyszło mi 2, (b.) \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\). Jeżeli chodzi o przykład ostatni to skorzystałem z zależności \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)ln(f(x))}}\), jednakże nie mogę dojść do żadnego konkretnego rozwiązania. Proszę o sprawdzenie i ewentualne opisanie kolejnych kroków obliczeń. Z góry dziękuję! Pozdrawiam

[miodzio1988]

a) zle. Zrob podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
b) Od kiedy to dzielimy przez zero? Wynik zly. Wzor na tangens potrojonego kąta albo hospitalizuj.
c) Pokaz jak liczysz znajdziemy błąd

[Dasio11]

W drugim można odrobinę prościej, korzystając ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\tg(x)}{x}=1}\)

[pejter123]

a) zle. Zrob podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
b) Od kiedy to dzielimy przez zero? Wynik zly. Wzor na tangens potrojonego kąta albo hospitalizuj.
c) Pokaz jak liczysz znajdziemy błąd

a. nie bardzo widzę jak miałoby mi pomóc to podstawienie (wybaczcie mi zaćmę umysłową ). Proszę o wyjaśnienie,
b. po zastosowaniu reguły de l'Hospitala wychodzi mi: \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^{-}} \frac{\frac{1}{cos3x}}{x ^{2}}}\), jak wiadomo cos0 daje nam 1, co w konsekwencji prowadzi do zapisu \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\). Co można z tym dalej zrobić
c. dochodzę do momenty po pierwszej "hospitalizacji": \(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} \frac{ \frac{1}{cos \frac{\pi x}{2}}(-sin \frac{\pi x}{2}) \frac{\pi}{2}}{ \frac{1}{(1-x) ^{2} } }}\). Po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ \frac{ \infty \cdot (-1) \cdot \frac{\pi}{2} }{ \infty }}\). Można hospitalizować dalej

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty-} x(e^{\frac{1}{x}}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)
\(\displaystyle{ x\to\infty- \Rightarrow t \rightarrow 0 ^{-}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty-} x(e^{\frac{1}{x}}-1)= \lim_{t \to 0^{-} } \frac{ e^{t}-1 }{t}}\)
A to byc banał, nie?

Do drugiego: powtórka z podstaw granic się przyda.
Do trzeciego:
Uporządkuj co masz po użyciu naszej reguły

[pejter123]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty-} x(e^{\frac{1}{x}}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)
\(\displaystyle{ x\to\infty- \Rightarrow t \rightarrow 0 ^{-}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty-} x(e^{\frac{1}{x}}-1)= \lim_{t \to 0^{-} } \frac{ e^{t}-1 }{t}}\)
A to byc banał, nie?

Do drugiego: powtórka z podstaw granic się przyda.
Do trzeciego:
Uporządkuj co masz po użyciu naszej reguły

Ok, załapałem

a. wynik 1
b. \(\displaystyle{ \frac{1}{0}= \infty}\)
c. po zastosowaniu reguły po raz drugi wyszło: \(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} \frac{-\frac{1}{cos ^{2} \frac{\pi x}{2}}(-sin \frac{\pi x}{2})\frac{\pi}{2}(cos \frac{\pi x}{2})\frac{\pi}{2} \cdot 0}{\frac{2(1-x)}{(1-x) ^{4} } }}\) co daje \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) czyli 0

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) to nie jest zero. Masz kolejny symbol nieoznaczony

[pejter123]

No przecież... Rozwiązałeś może tą granicę? Póki co obliczenia się zgadzają?

[miodzio1988]

Ja jestem zbyt leniwy, żeby to rozwiązywać i sprawdzac jak ktos liczy pochodne(wszak liczenie pochodnych to podstawa). Moją radą było to zebys poskracał co się da i pozniej bysmy pomysleli. jak widac nie zrobiles tego.

[pejter123]

No dobrze. Po skróceniu zostaje: \(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} \frac{\frac{1}{cos\frac{\pi x}{2}}(sin \frac{\pi x}{2})\frac{\pi}{2}\pi \cdot 0}{\frac{1}{(1-x) ^{3} } }}\)
co daje \(\displaystyle{ \frac{0}{ \infty }}\)