prosilbym o pomoc z taka caleczka
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt{1+ \sqrt[3]{x ^{2} } } }dx}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{3} }{e ^{x ^{2} } } dx}\)
całka nieoznaczona
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
całka nieoznaczona
Drugą od razu przez części
\(\displaystyle{ \int{ -\frac{1}{2}x^2 \cdot \left( -2xe^{-x^{2}}\right) \mbox{d}x }=}\)
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}- \frac{1}{2} \int{ \left( -2xe^{-x^2}\right) \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}- \frac{1}{2} e^{-x^2}+C}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}e^{-x^2} \cdot \left( x^2+1\right) +C}\)
Pierwszą podstawienie związane z różniczką dwumienną
(jeżeli nie zajdzie jeden z trzech przypadków rozwiń w szereg funkcję podcałkową)
Podstawienie
\(\displaystyle{ t^2=1+x^{ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt{1+ \sqrt[3]{x ^{2} } } }dx}\)
\(\displaystyle{ t^2=1+x^{ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ 2t \mbox{d}t= \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ t \mbox{d}t= \frac{1}{3} x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ x= \left(t^2-1 \right)^{ \frac{3}{2} }}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= \left(t^2-1 \right)^{- \frac{1}{2} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{t^2-1} }}\)
\(\displaystyle{ 3t \left( t^2-1\right)^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}t= \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{3}{2} } \cdot 3t \cdot \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{2} }}{t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ 3 \int{\left(t^2-1 \right) ^{ \frac{3}{2} } \cdot \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ 3 \int{ \left( t^2-1\right) ^2 \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =3 \int{ \left( t^{4}-2t^2+1\right) } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ =3 \left( \frac{1}{5}t^5- \frac{2}{3}t^3+t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ =3t \left( \frac{1}{5}t^4- \frac{2}{3}t^2+1 \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{5} \left( 3x^ \frac{4}{3}-4x^ \frac{2}{3}+8\right) \sqrt{1+x^ \frac{2}{3} } +C}\)
\(\displaystyle{ \int{ -\frac{1}{2}x^2 \cdot \left( -2xe^{-x^{2}}\right) \mbox{d}x }=}\)
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}- \frac{1}{2} \int{ \left( -2xe^{-x^2}\right) \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x^2e^{-x^2}- \frac{1}{2} e^{-x^2}+C}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}e^{-x^2} \cdot \left( x^2+1\right) +C}\)
Pierwszą podstawienie związane z różniczką dwumienną
(jeżeli nie zajdzie jeden z trzech przypadków rozwiń w szereg funkcję podcałkową)
Podstawienie
\(\displaystyle{ t^2=1+x^{ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt{1+ \sqrt[3]{x ^{2} } } }dx}\)
\(\displaystyle{ t^2=1+x^{ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ 2t \mbox{d}t= \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ t \mbox{d}t= \frac{1}{3} x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= x^{ -\frac{1}{3} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ x= \left(t^2-1 \right)^{ \frac{3}{2} }}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= \left(t^2-1 \right)^{- \frac{1}{2} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ 3t \mbox{d}t= \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{t^2-1} }}\)
\(\displaystyle{ 3t \left( t^2-1\right)^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}t= \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{3}{2} } \cdot 3t \cdot \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{2} }}{t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ 3 \int{\left(t^2-1 \right) ^{ \frac{3}{2} } \cdot \left(t^2-1 \right) ^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ 3 \int{ \left( t^2-1\right) ^2 \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =3 \int{ \left( t^{4}-2t^2+1\right) } \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ =3 \left( \frac{1}{5}t^5- \frac{2}{3}t^3+t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ =3t \left( \frac{1}{5}t^4- \frac{2}{3}t^2+1 \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{5} \left( 3x^ \frac{4}{3}-4x^ \frac{2}{3}+8\right) \sqrt{1+x^ \frac{2}{3} } +C}\)