Wykaż, że różnica kwadratów. Inne

[91patii]

Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych , niepodzielnych przez 3, jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie. \(\displaystyle{ (3n+1)^{2}}\)-\(\displaystyle{ (3n+2)^{2}}\)\(\displaystyle{ =-3(3n+1)}\)

Proszę o wytłumaczenie skąd się wzieły 2 pierwsze nawiasy ... i czy to trzeba wytłumaczyc słownie, jeśli tak to w jaki sposób .. najłatwiej...

Z góry dzięki !

[szymek]

Liczbę podzielną przez\(\displaystyle{ n}\) zapiszemy jako\(\displaystyle{ nk}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\) Jeśli liczba jest nie podzielna to daje resztę. W przypadku trójki, jeśli liczba jest podzielna przez 3 to ma postać 3k, jeśli nie jest podzielna to ma postać 3k+1 lub 3k+2 , gdzie +1 i +2 to owa reszta. Dla unaocznienia, weźmy \(\displaystyle{ 6=3*2}\) tu nasze k=2, natomiast \(\displaystyle{ 7=3*2 +1}\) a \(\displaystyle{ 8=3*2+2}\), \(\displaystyle{ 9=3*3}\) czyli jest podzielne i w tym wypadku \(\displaystyle{ k=3}\)

[Piwo12345]

\(\displaystyle{ \left( 3n+1+3n+2\right) \left(3n+1-3n-2 \right)=3* \left(n+1 \right) *-1=-3 \left(n+1 \right)}\)

[91patii]

\(\displaystyle{ (3n+1)^{2}}\)\(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ (3n+2)^{2}}\)

jak to obliczyc ?

[111sadysta]

korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ (3n+1)^{2}-(3n+2)^{2}=9n^2+6n+1-(9n^2+12n+4)=9n^2+6n+1-9n^2-12n-4=-6n-3=-3(2n+1)}\)

wytłumaczę, po Twoich tematach nie wiem, czy umiesz stosować wzory skróconego mnożenia...

mamy wzór skróconego mnożenie:
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
zajmijmy się tym:
\(\displaystyle{ (3n+1)^{2}}\)
dla nas
\(\displaystyle{ a=3n}\)
\(\displaystyle{ b=1}\)

liczmy po kawałku
\(\displaystyle{ a^2=(3n)^2=9n^2}\)
\(\displaystyle{ 2ab=2 \cdot 3n \cdot 1=6n}\)
\(\displaystyle{ b^2=1^1=1}\)
wstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
\(\displaystyle{ (3n+1)^{2}=9n^2+6n+1}\)

teraz zajmijmy się:
\(\displaystyle{ (3n+2)^{2}}\)
liczymy analogicznie jak wyżej
\(\displaystyle{ (3n+2)^{2}=9n^2+12n+4}\)

patrzymy , że jest tam różnica
\(\displaystyle{ (3n+1)^{2}-(3n+2)^{2}}\)
więc to drugie wyrażenie dajemy do nawisu:
\(\displaystyle{ =9n^2+6n+1-(9n^2+12n+4)=}\)
znaki w nawiasie zmieniają się na przeciwne
\(\displaystyle{ =9n^2+6n+1-9n^2-12n-4=}\)
redukujemy wyrazy podobne
\(\displaystyle{ =-6n-3=}\)
wyciągamy -3 przed nawias
\(\displaystyle{ -3(2n+1)}\)

[Jan Kraszewski]

111sadysta, to akurat nie jest najefektywniejszy sposób, Piwo12345 zrobił to szybciej.

91patii, dość dziwnie wygląda, jak zadajesz pytanie "Jak policzyć..." dokładnie POD postem, w którym Piwo12345 właśnie to policzył, stosując wzór skróconego mnożenia pt. "różnica kwadratów"...

JK