Oblicz granicę

[anika91]

Jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}n}}\)

(chce to zrobić na przekształceniach, nie z tw. o 3 ciągach, niestety nie wiem od czego zacząć).

Za pomoc dziękuje +

[Althorion]

Wyciągnąłbym pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ 2^n}\) przed nawias.

[anika91]

Czy tak ? :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}^{n}} =

\sqrt[n]{2^{n}+2^{-n}}= \sqrt[n]{2^{n}(1+2^{-2n})}=

\sqrt[n]{2^{n}} \cdot \sqrt[n]{1+2^{-2n}}=
2\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2n}}} = \lim_{n \to \infty } 2 \cdot 1+0=2}\)

[Grzegorz t]

hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)

[anika91]

hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)

Mój błąd, źle napisałam tam powinna być 1/2^n.

Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
to też moglibyśmy wyciągnąć \(\displaystyle{ 2n}\) pod pierwiastkiem ?? Jakoś tego nie widzę ?

[miki999]

Tym prostsza granica, bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\).

Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)

Wyłączamy \(\displaystyle{ 2^n}\)...

[anika91]

Mogłabym prosić o rozpisanie tego ? bo jakoś mi nie wychodzi z tym wyciągnięciem \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
wychodzi 1+.... i co tutaj ? Jak wyciągnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) z tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dzielę ten ułamek przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Jakoś mi to nie wychodzi, nie wiem jak :/

Dla pewności zakładamy TEN przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)

[miki999]

\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\)

[anika91]

Dziękuje, jeszcze jedna sprawa:

\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\) dąży do 0 , ale chyba żeby to pokazać muszę jeszcze coś z tym zrobić ? Bo z samego tego wyrażenia wychodzi wyraz nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) ?

[enigm32]

Można to np. oszacować od góry ciągiem \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{2n^2} \rightarrow 0}\) - i tw. o trzech ciągach.

-- 17 grudnia 2009, 13:12 --

lub zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - czyli ciąg zbieżny do 0
lub:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(1+\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - zbieżny do 0