Oblicz granicę
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 67 razy
Oblicz granicę
Jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}n}}\)
(chce to zrobić na przekształceniach, nie z tw. o 3 ciągach, niestety nie wiem od czego zacząć).
Za pomoc dziękuje +
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}n}}\)
(chce to zrobić na przekształceniach, nie z tw. o 3 ciągach, niestety nie wiem od czego zacząć).
Za pomoc dziękuje +
Ostatnio zmieniony 16 gru 2009, o 19:51 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 67 razy
Oblicz granicę
Czy tak ? :
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}^{n}} =
\sqrt[n]{2^{n}+2^{-n}}= \sqrt[n]{2^{n}(1+2^{-2n})}=
\sqrt[n]{2^{n}} \cdot \sqrt[n]{1+2^{-2n}}=
2\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2n}}} = \lim_{n \to \infty } 2 \cdot 1+0=2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}^{n}} =
\sqrt[n]{2^{n}+2^{-n}}= \sqrt[n]{2^{n}(1+2^{-2n})}=
\sqrt[n]{2^{n}} \cdot \sqrt[n]{1+2^{-2n}}=
2\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2n}}} = \lim_{n \to \infty } 2 \cdot 1+0=2}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2009, o 23:02 przez anika91, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
Oblicz granicę
hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 67 razy
Oblicz granicę
Mój błąd, źle napisałam tam powinna być 1/2^n.Grzegorz t pisze:hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
to też moglibyśmy wyciągnąć \(\displaystyle{ 2n}\) pod pierwiastkiem ?? Jakoś tego nie widzę ?
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Oblicz granicę
Tym prostsza granica, bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\).
Wyłączamy \(\displaystyle{ 2^n}\)...Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 67 razy
Oblicz granicę
Mogłabym prosić o rozpisanie tego ? bo jakoś mi nie wychodzi z tym wyciągnięciem \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
wychodzi 1+.... i co tutaj ? Jak wyciągnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) z tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dzielę ten ułamek przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Jakoś mi to nie wychodzi, nie wiem jak :/
Dla pewności zakładamy TEN przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
wychodzi 1+.... i co tutaj ? Jak wyciągnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) z tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dzielę ten ułamek przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Jakoś mi to nie wychodzi, nie wiem jak :/
Dla pewności zakładamy TEN przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 67 razy
Oblicz granicę
Dziękuje, jeszcze jedna sprawa:
\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\) dąży do 0 , ale chyba żeby to pokazać muszę jeszcze coś z tym zrobić ? Bo z samego tego wyrażenia wychodzi wyraz nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) ?
\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\) dąży do 0 , ale chyba żeby to pokazać muszę jeszcze coś z tym zrobić ? Bo z samego tego wyrażenia wychodzi wyraz nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) ?
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Oblicz granicę
Można to np. oszacować od góry ciągiem \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{2n^2} \rightarrow 0}\) - i tw. o trzech ciągach.
-- 17 grudnia 2009, 13:12 --
lub zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - czyli ciąg zbieżny do 0
lub:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(1+\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - zbieżny do 0
-- 17 grudnia 2009, 13:12 --
lub zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - czyli ciąg zbieżny do 0
lub:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(1+\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - zbieżny do 0