Witam potrzebuje rozwiazanie zadania:
Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji :
f(x)=\(\displaystyle{ \frac{lnx}{\sqrt{x}}}\)
Przebieg zmiannosci funkcji y= lnx / pierwiastk z x
-
Tur!
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Przebieg zmiannosci funkcji y= lnx / pierwiastk z x
przebieg zmienności.. chodzi o monotoniczność? Jak tak to wystarczy policzyć pochodną i przyrównać do zera..
EDIT:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\frac{lnx}{ \sqrt{x}}=\frac{\frac{ \sqrt{x}}{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}lnx}{|x|}}\)
Jako, że w mianowniku mamy \(\displaystyle{ |x|}\) możemy pominąć, przy rozpatrywaniu.
Zajmujemy się samym licznikiem... sprowadzamy do najprostszej postaci iloczyn-owej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{x}}(ln\frac{e}{x})}\)
Teraz szukamy kiedy wyrażenie powyżej ma znak dodatni, a kiedy ujemny..
Ponieważ idziemy po \(\displaystyle{ x>0}\) jedyne przyrównanie do zera jest w \(\displaystyle{ x=e}\) zatem:
wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{lnx}{ \sqrt{x}}}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x>e}\), natomiast maleje dla \(\displaystyle{ 0<x<e}\)
Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem.
EDIT:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\frac{lnx}{ \sqrt{x}}=\frac{\frac{ \sqrt{x}}{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}lnx}{|x|}}\)
Jako, że w mianowniku mamy \(\displaystyle{ |x|}\) możemy pominąć, przy rozpatrywaniu.
Zajmujemy się samym licznikiem... sprowadzamy do najprostszej postaci iloczyn-owej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{x}}(ln\frac{e}{x})}\)
Teraz szukamy kiedy wyrażenie powyżej ma znak dodatni, a kiedy ujemny..
Ponieważ idziemy po \(\displaystyle{ x>0}\) jedyne przyrównanie do zera jest w \(\displaystyle{ x=e}\) zatem:
wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{lnx}{ \sqrt{x}}}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x>e}\), natomiast maleje dla \(\displaystyle{ 0<x<e}\)
Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem.