Przekształcenie funkcji wykładniczej.. mały dylemat

Tur! · Post autor: **Tur!** » 15 gru 2009, o 21:46

Dawno mnie nie było... mam mały problem.. mam nadzieję, że pomożecie mi go rozwiązać.
Mamy daną funkcję: \(\displaystyle{ f(x)=2^{x+3}}\) jeżeli zadziałamy na nią przekształceniem \(\displaystyle{ f(3x)}\) to otrzymany: \(\displaystyle{ f(3x)=2^{3(x+3)}}\) czy \(\displaystyle{ f(3x)=2^{3x+3}}\)
Pytanie zapewne banalne dla większości z was.. ale dzisiaj na wydziale pojawił się mały dylemat powiązany z tym... Wg. mnie działamy tylko na argumencie funkcji (czyli druga opcja) Reszta sądzi, że argumentem tej funkcji jest całość w wykładniku. Jeżeli jestem w błędzie poprawcie mnie.

Pozdrawiam

soku11 · Post autor: **soku11** » 15 gru 2009, o 21:52

Jest to funkcja zmiennej x, a nie wykładnika Tak więc mając funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=2^{x+3}}\)
Chcąc obliczyć wartość dla x=2 podstawiamy pod x wartość 2. Analogicznie jak chcemy policzyć wartość dla x=3x (tak się nie pisze) to wstawiamy:
\(\displaystyle{ f(3x)=2^{3x+3}}\)
Czyli masz rację.

Pozdrawiam.

Tur! · Post autor: **Tur!** » 15 gru 2009, o 22:12

A teraz kolejna sprawa..
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2^{x}}\) i chcemy na nią zadziałać tak by otrzymać \(\displaystyle{ g(x)=2^{3x+9}}\)
Czyli są na to dwie drogi.. i niestety wykresy się różnią..
1. \(\displaystyle{ f(x)=2^{x} \rightarrow \vec{c}=[-9;0] \rightarrow f_{1}(x)=2^{x+9} \rightarrow f(3x) \rightarrow f_{2}(x)=2^{3x+9}=g(x)}\)
Czyli po kolei: Przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ \vec{c}=[-9;0]}\), następnie rozszerzenie skali x o 3.
Natomiast 2.
\(\displaystyle{ f(x)=2^{x} \rightarrow f(3x) \rightarrow f_{3}(x)=2^{3x} \rightarrow \vec{b}=[-3;0] \rightarrow f_{4}(x)=2^{3(x+3)}=2^{3x+9}=g(x)}\)
czyli kolejno: Rozszerzenie skali x o 3, następnie przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ \vec{b}=[-3;0]}\)

Pomimo, że otrzymujemy tą samą funkcję na końcu to wykresy różnią się od siebie...

Jakieś sugestie.. gdzie może być błąd?

soku11 · Post autor: **soku11** » 15 gru 2009, o 22:35

Obie metody są poprawne i dadzą ten sam wynik. Coś mieszasz w rysunkach.

Pozdrawiam.

Tur! · Post autor: **Tur!** » 15 gru 2009, o 22:40

Posiedzę nad tym i przeanalizuję nieco te rysunki...

-- 17 gru 2009, o 22:29 --

Dzisiaj znowu zaskoczyła mnie doktorantka...
dostałem takie oto wyjaśnienie:

\(\displaystyle{ f(x)=2^{2x+9)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ g(x)=2^x \\
h(x)=3x \\
s(x) = x-3}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ f(x)=(g \circ h \circ s)(x) = g(h(s(x))) = g(3(x-3))=2^{3x+9}}\)

1. Aby otrzymać wykres funcji \(\displaystyle{ f(x)=2^{3x+9}}\) najpierw rysujemy wykres \(\displaystyle{ g(x)=2^x}\), później działamy na niego funkcją \(\displaystyle{ h(x)=3x}\) ("zwężamy"), a następnie przesuwamy o wektor \(\displaystyle{ [-3;0]}\).

2. Prawidłowy wykres otrzymamy też gdy narysujemy wykres otrzymamy też gdy narysujemy wykres funkcji \(\displaystyle{ g(x)=2^x}\), przesuniemy go o wektor \(\displaystyle{ [-3;0]}\), a następnie "zwęzimy" (\(\displaystyle{ h(x)}\)).

3. Nie możemy najpierw rysować wykresu \(\displaystyle{ g(x)=2^{3x}}\) i przesunąć go o wektor \(\displaystyle{ [-9;0]}\), bo otrzymamy wtedy wykres funkcji \(\displaystyle{ z(x)=2^{3(x-9)}}\).

Teraz tak.. co składania funkcji.. chcąc nie chcąc jest to prawda..
Pkt 1 - zgadzam się w 100%
Pkt 3 - zgadzam się w 100% - wyjaśniła mi nie to co chciałem, ale..
Pkt 2 - NIE MOGĘ się zgodzić... Uważam następująco:

Jeżeli zrobimy wg tego co podała czyli, najpierw przesuwamy o wektor \(\displaystyle{ [-3;0]}\), następnie zwęzimy, to otrzymamy: \(\displaystyle{ t(x)=2^{3x+3}}\)
czy może rzeczywiście otrzymamy: \(\displaystyle{ f(x)=2^{3(x+3)}=2^{3x+9}}\) ??

Zatem, nadal uważam problem za nierozstrzygnięty... ja uważam jak uważam.. ale podważać słowa doktorantki jest trochę strach ;/

Przyda się ktoś kto mi wbije wiedzę do głowy...

P.S. W akcie desperacji zapytałem... czy w funkcji wykładniczej jako argument traktujemy sam x, czy cały wykładnik.. uzyskałem odpowiedź: CAŁY WYKŁADNIK... ;/