zbieżność ciągu rekurencyjnego

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 20:40

hej kotki, mam takie łatwe zadanie, które z jakiegoś powodu stanowi dla mnie zagwozdkę...
otóż, zbadać zbieżność ciągu rekurencyjnego i jeżeli jest zbieżny, to policzyć granicę:

\(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n} +1}{x_{n}+2}}\)

z góry dziękuję ^^'

frej · Post autor: **frej** » 14 gru 2009, o 20:50

Zbieżny i ograniczony ma granicę.

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 21:07

Moim problemem jest to, że nie wiem jak pokazać, że ciąg ten jest ograniczony. I nie, nie zadowoli mnie odpowiedź 'indukcyjnie".

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 gru 2009, o 21:29

gdyby mial granice to wtedy \(\displaystyle{ x _{n} \rightarrow g \leftarrow x_{n+1}}\). I teraz podstawiasz sobie i wyliczasz g. Oczywiscie jest to bardzo nieformalne i dowodem to nie jest. Jest to taka wskazowka co bedzie ograniczeniem. Bo co lepszego bedzie ograniczeniem jak nie granica, co? i jak juz sobie policzysz granice to wtedy indukcja do raczki i smigasz dowod kotku

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 22:01

oj, oj, właśnie nie wiem, jak poprowadzić tą indukcję. ciąg wygląda banalnie, jednak indukcja nie idzie już tak łatwo. tzn, pewnie idzie pewnie, jednak jakiś motek wełny obija mi się po głowie i skutecznie przesłania mi proste rozwiązanie.

mógłby mi to ktoś pokazać? ^^'

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 gru 2009, o 22:12

pokaz jak stosujesz ta indukcje to Cie poprowadzimy-- 14 grudnia 2009, 22:12 --pokaz jak stosujesz ta indukcje to Cie poprowadzimy

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 22:30

no więc tak. chcemy pokazać, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\).
z dołu jest ograniczony przez zero, to widać.

I. \(\displaystyle{ x_{1}= 0 \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\)
II. \(\displaystyle{ x_{n} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow x_{n+1} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n}+1}{x_{n}+2} = 1 - \frac{1}{x_{n} +2}}\)

jak widać, taką indukcją "na chama" się nie da, bo szacując mam:

\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{x_{n} +2} \ge}\) od czegoś ( niech będzie \(\displaystyle{ 1 -\frac{1}{\frac{ \sqrt{5}-1 }{2} +2})}\)

czyli, trzeba zrobić coś niestandardowego, a tu już pomysłu nie mam.

abc666 · Post autor: **abc666** » 14 gru 2009, o 22:47

Hm a wiesz że jak uprościsz to wyrażenie to wyjdzie to co trzeba?

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 22:53

wyjdzie, że \(\displaystyle{ x_{n} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow x_{n+1} \ge \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\) czyyli źle.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 gru 2009, o 23:09

Zobacz, ze masz minusy i mianowniki. I tutaj sie mylisz piszac nierownosc. Zwroc na to uwagę

little weirdo · Post autor: **little weirdo** » 14 gru 2009, o 23:28

oo, teraz to widzę. dziękuję.

frej · Post autor: **frej** » 15 gru 2009, o 19:27

\(\displaystyle{ 0\le x_n \le 1}\)
nie potrzebujesz bardzo ścisłej ograniczoności