Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 13:44

witam,

czy mógłbym prosić o intuicyjne (łopatologiczne ) wytłumaczenie na poniższym przykładzie w jaki sposób badamy zbieżność jednostajną (na przedziale [0,1]) ciągu funkcyjnego?

\(\displaystyle{ f_n(x) = nx^n(1-x) \\
x \in [0,1] \\
n \in N}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 16:17

Najpierw rozpisz sobie definicję i pozniej skorzystaj z tego co wiesz o rachunku rozniczkowym i szukaniu ekstremum(przypominam , że w definicji mamy supremum)

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 16:35

najłatwiej uczy mi się na przykładach,
czy dałbyś radę rozwiązać powyższy przykład lub wskazać rozwiązane przykłady na tyle nieskomplikowane żeby prosto było dostrzec ogólny algorytm?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 16:36

Przykłady masz w książce. Jak chcesz przykładu tutaj to istnieje u nas opcja "szukaj". Rowniez na google mozesz znalezc duzo informacji.

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 16:48

szperałem w google i wyszukiwarki forumowej także nie zaniedbałem jednak nie znalazłem przykładu rozpisanego w stylu "co i dlaczego robimy w jakiej kolejności" stąd moje pytanie o schemat postępowania (w tym wydaje mi się prostym przypadku) coby wyrobić sobie jakieś intuicyjne podejście do tego typu zadań

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 16:50

No to krok po kroku.
Najpierw zbadaj zbieżność punktową i podaj definicję zbieznosci jednostajnej. Wtedy ja wkoroczę, bo do tego momentu powinienes umiec to zrobic

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 18:15

dla x =0 i x=1 \(\displaystyle{ f_n(x)}\) dąży do 0
tak samo dla dowolnego x z przedziału (0,1)
hm... czy dobrze rozumiem tą zbieżność punktową?

cóż, def zbieżności jednostajnej to:
\(\displaystyle{ \forall\limits_{\varepsilon > 0} \exists\limits_{n_0} \forall\limits_{n \geqslant n_0} \forall\limits_{x \in R} |f_n(x) - f(x) | < \varepsilon}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 18:21

No zbieżność punktowa jest ok.
Szukamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }}\) \(\displaystyle{ sup \left| f _{n}(x)- f(x) \right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x)=0}\)(obliczyłeś to przed chwilą.)
I to suoremum łatwo będzie znaleźć korzystając z rachunku różniczkowego. (pamiętasz naukę o ekstremum?)

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 18:38

niebardzo, mógłbyś troszkę uściślić co trzeba zrobic?
pochodną z \(\displaystyle{ f_n(x)}\) ?
to bedzie chyba
\(\displaystyle{ n^2 x^{n-1}(1-x) + nx^n}\)
co dalej?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 22:25

Przyrownaj pochodna do zera (tak jak przy szukaniu ekstremum). btw mam nadzieje, ze pochodna jest dobrze policzona , bo nie sprawdzam

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 22:36

\(\displaystyle{ x = \frac{n}{n+1}}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 22:43

No ladne te rozwiazania nam wyszly. Skoro szukamy supremum to jakie jest nam potrzebne ekstremum? i pamietaj w jakim przedziale jestesmy

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 23:05

x pomiedzy 0 a 1
no a potrzebujemy supremum
wiec teraz druga pochodna < 0 tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 gru 2009, o 23:11

Nie. Zobacz czy i jak Ci sie zmieniaja znaki pierwszej pochodnej. Tak zobaczysz czy to min czy max

qba · Post autor: **qba** » 13 gru 2009, o 23:14

hm... jak najefektywniej sprawdzić zmianę znaku pochodnej?
i czy druga pochodna nie byłaby lepszym wyjściem?