sprawdzic czy szereg jest zbiezny.

[tomek11]

Sprawdź, czy szereg jest zbiezny
1.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ncos^{2}n}}\)
2.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln^{2}(1+ \frac{1}{n} )}\)
3.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } cos \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} }{n}}\)

[miodzio1988]

3. Warunek konieczny sprawdz
1)Porownawcze
2)Tez porownawcze

[tomek11]

2 już zrobiłem, 1 nie wiem do czego to porownac, do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ?
cos takiego?
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos^{2} n} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ncos^{2}n} \le \frac{1}{n}}\) ?
a w 3 to po prostu o to chodzi ze cosinus dąży do 1? mozna to tak zapisac: ?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } cos \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }{n} = cos 0=1}\)

[miodzio1988]

1) Nierowność w złą stronę masz. Szereg dobry dobrałeś.
3) zgadza się. Mozna tak to zapisac. Tylko daj komentarz o warunku koniecznym

[tomek11]

aa racja czyli moge dla odmiany ograniczyc najpierw -1? z lewej , potem to bedzie to kwadratu i zrobi sie jedynka i dalej tak samo?

[miodzio1988]

Nierówności mi się pomyliły...o kurde...sorka. Inna taktyka to Cauchy, ale nie mam już trochę czasu na to , żeby pomyśleć, bo zaraz do Wawy jadę. Niech ktoś mnie zastąpi

[tomek11]

no nie, a juz myslalem ze to 2 jest dobrze.. bo moj pierwszy sposob faktycznie byl zly.

[Grzegorz t]

np. 2.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln^{2}(1+ \frac{1}{n} )}\)
szereg jest zbieżny
nie chciałbym pisać tutaj gotowca, ale spróbuj sam dojść do rozwiązania, wykorzystaj nierówność, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1, ln(n+1) \le n}\)

w 1 skorzystaj z własności f. trygonometrycznej, że

\(\displaystyle{ cos n \le 1, ncos^2n \le n}\), szereg będzie rozbieżny

[tomek11]

pisałem, ze 2 juz mi wyszlo;] ale dzieki
ale to mi nic nie daje,ze go ogranicze z prawej strony, ja potrzebuje z lewej. dobrze mowie?