Witam!
Mam problem i zarazem pytanie do mózgów z forum .
Mam przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{ 7-4 \sqrt{3} }}\)
Wiem o co chodzi - trzeba znaleźć liczby, których kwadrat różnicy (wzór skróconego mnożenia) da powyższe liczby pod pierwiastkiem głównym, bo \(\displaystyle{ a^{2} =|a|}\) i dalej banał z definicji wartości.
Ale mam problem z samym początkiem.
W jaki sposób mogę znaleźć te liczby?! Nawet jak próbuję znaleźć je na "czuja", to nie mogę wymyślić.
Proszę o jakiś sposób na obliczanie tego, bo na 100% jest... nie mam pojęcia jak to zrobić "od końca" .
Byłbym wdzięczny, bo dużo przykładów z mojej pracy domowej opiera się na tym sposobie, a ja stoję w miejscu.
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
-
vertia
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Pomógł: 6 razy
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
Mózgiem co prawda nie jestem, ale spróbuję Ci pomóc
Musisz zastanowić się nad samym wzorem skróconego mnożenia. Wnioskujesz z tego, w przypadku twojego zdania, że \(\displaystyle{ -2ab=-4 \sqrt{3}}\), a więc \(\displaystyle{ ab=2 \sqrt{3}}\). W ten sposób dostajesz różne kombinacje, np. \(\displaystyle{ a=1, \ b=2\sqrt{3}}\) albo \(\displaystyle{ a=2 \ b=\sqrt{3}}\), tak aby iloczyn tych liczb był równy właśnie \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\). Potem oczywiście sprawdzasz, która z tych kombinacji jest dobra. Czasami trzeba trochę więcej kombinować, np. z ułamkami, dwoma pierwiastkami, ale w zasadzie opiera się to na tym samym
Musisz zastanowić się nad samym wzorem skróconego mnożenia. Wnioskujesz z tego, w przypadku twojego zdania, że \(\displaystyle{ -2ab=-4 \sqrt{3}}\), a więc \(\displaystyle{ ab=2 \sqrt{3}}\). W ten sposób dostajesz różne kombinacje, np. \(\displaystyle{ a=1, \ b=2\sqrt{3}}\) albo \(\displaystyle{ a=2 \ b=\sqrt{3}}\), tak aby iloczyn tych liczb był równy właśnie \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\). Potem oczywiście sprawdzasz, która z tych kombinacji jest dobra. Czasami trzeba trochę więcej kombinować, np. z ułamkami, dwoma pierwiastkami, ale w zasadzie opiera się to na tym samym
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
Powiedz mi, czy dobrze myślę, że:
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = pierwsza liczba}\)
i \(\displaystyle{ 2ab= druga liczba}\)
Jeśli oznaczę pierwszą liczbę jako x i drugą jako y, to czy nie da się wyprowadzić stałego wzoru na a? Będę miał a to dopasuję bez problemów b.
Stanąłem na:
\(\displaystyle{ 4*a^{4}-4a^{2}*x+y^{2}=0}\)
i nie wiem jak to ruszyć dalej, jest to w ogóle wykonalne?
Wiem, że kombinuję i zdaję sobie z tego sprawę, ale takie kombinowanie i robienie "na czuja" mnie strasznie irytuje i chciałem mieć gotowca .
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = pierwsza liczba}\)
i \(\displaystyle{ 2ab= druga liczba}\)
Jeśli oznaczę pierwszą liczbę jako x i drugą jako y, to czy nie da się wyprowadzić stałego wzoru na a? Będę miał a to dopasuję bez problemów b.
Stanąłem na:
\(\displaystyle{ 4*a^{4}-4a^{2}*x+y^{2}=0}\)
i nie wiem jak to ruszyć dalej, jest to w ogóle wykonalne?
Wiem, że kombinuję i zdaję sobie z tego sprawę, ale takie kombinowanie i robienie "na czuja" mnie strasznie irytuje i chciałem mieć gotowca .
-
vertia
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Pomógł: 6 razy
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
Wiesz nigdy nie próbowałam wyprowadzić sobie jakiegoś konkretnego wzoru, więc trudno mi powiedzieć. Wydaje mi , że to co sobie wyprowadziłeś (mógłbyś napisać jak do tego doszedłeś?) nie zaprowadzi Cię do jakiegoś wyniku. Mógłbyś co prawda spróbować zmienić to na równanie kwadratowe (np. podstawić sobie \(\displaystyle{ m}\) za \(\displaystyle{ a^2}\) czy coś w tym stylu), liczyć deltę itd. próbowałam dalej policzyć z tego co Ci wyszło ale wyszła mi sprzeczność, jak podstawiłam liczby z twojego przykładu. Napisz jak to liczyłeś to może coś wymyślę
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
Mam naturę kombinatora. Często kombinuję, ale ostatecznie zazwyczaj źle mi to wychodzi...
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = x}\)
\(\displaystyle{ 2ab = y}\), więc:
\(\displaystyle{ b = \frac{y}{2a}}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + ( \frac{y}{2a})^{2} = x}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + \frac{ y^{2} }{ 4a^{2} } = x}\)
Stronami przez mianownik po lewej i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4a^{4}+ y^{2} - 4xa^{2} = 0}\)
Przydałoby się mieć stały wzór na obliczanie a, ponieważ przy przykładach z np. ułamkami zaczyna się taki kosmos, z którym nie potrafię sobie poradzić - szczególnie wtedy, gdy liczby pod pierwiastkami są większe od liczby obok...
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = x}\)
\(\displaystyle{ 2ab = y}\), więc:
\(\displaystyle{ b = \frac{y}{2a}}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + ( \frac{y}{2a})^{2} = x}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + \frac{ y^{2} }{ 4a^{2} } = x}\)
Stronami przez mianownik po lewej i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4a^{4}+ y^{2} - 4xa^{2} = 0}\)
Przydałoby się mieć stały wzór na obliczanie a, ponieważ przy przykładach z np. ułamkami zaczyna się taki kosmos, z którym nie potrafię sobie poradzić - szczególnie wtedy, gdy liczby pod pierwiastkami są większe od liczby obok...
-
vertia
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Pomógł: 6 razy
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
No tak stały wzór by się przydał Wczoraj jak liczyłam to się pomyliłam bo zgubiłam minusa, a oto jak dalej liczysz
\(\displaystyle{ a^{2}=m\\4m^{2} +(- 4x)m +y^{2}=0\\ \Delta=16x^{2}-4 \cdot 4 \cdot y^{2}=16(x^{2}-y^{2})>0\\ m_{1}= \frac{4x- \sqrt{16(x^{2}-y^{2})} }{8} = \frac{x- \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2} \\ m_{2}=\frac{x+ \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}\\ a_{1}= \sqrt{\frac{x- \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}} \\ a_{2}= \sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}}}\)
potem podstawiasz i liczysz, powinno wyjść (są dwa rozwiązania równania czyli w tym wypadku jedno bierzesz za \(\displaystyle{ a}\) a drugie za \(\displaystyle{ b}\)). Oczywiście potem najlepiej sprawdzić czy dobrze Ci wyszło . Jakbyś czegoś nie rozumiał to pisz
\(\displaystyle{ a^{2}=m\\4m^{2} +(- 4x)m +y^{2}=0\\ \Delta=16x^{2}-4 \cdot 4 \cdot y^{2}=16(x^{2}-y^{2})>0\\ m_{1}= \frac{4x- \sqrt{16(x^{2}-y^{2})} }{8} = \frac{x- \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2} \\ m_{2}=\frac{x+ \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}\\ a_{1}= \sqrt{\frac{x- \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}} \\ a_{2}= \sqrt{\frac{x+ \sqrt{x^{2}-y^{2}} }{2}}}\)
potem podstawiasz i liczysz, powinno wyjść (są dwa rozwiązania równania czyli w tym wypadku jedno bierzesz za \(\displaystyle{ a}\) a drugie za \(\displaystyle{ b}\)). Oczywiście potem najlepiej sprawdzić czy dobrze Ci wyszło . Jakbyś czegoś nie rozumiał to pisz
-
hojlo1
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 7 sty 2009, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pabianice
- Podziękował: 1 raz
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
Więc tak, wzór "działa", ale tylko w przypadkach, gdy y podniesione do kwadratu jest liczbą mniejszą niż x podniesione do kwadratu.
Dlaczego?
\(\displaystyle{ \sqrt{5-2 \sqrt{6} }}\)
Np. tutaj da radę policzyć.
Ale tutaj:
\(\displaystyle{ \sqrt{11-6 \sqrt{2} }}\)
Już nie.
Dlaczego?
\(\displaystyle{ \sqrt{5-2 \sqrt{6} }}\)
Np. tutaj da radę policzyć.
Ale tutaj:
\(\displaystyle{ \sqrt{11-6 \sqrt{2} }}\)
Już nie.
-
vertia
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Pomógł: 6 razy
Pytanie o sposób na obliczanie wartości bezwzględnej; pierw.
\(\displaystyle{ y^{2} \le x^{2}}\) bo \(\displaystyle{ y\le x}\) Dlaczego?
\(\displaystyle{ 2ab \le a^{2} + b^{2}\\ 0 \le a^{2} -2ab+ b^{2}\\ 0 \le (a-b)^{2}}\)
Prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej.
W drugim przypadku też wychodzi: \(\displaystyle{ 11^{2}=121,\ \ \ (6 \sqrt{2})^{2}=72 \\ a_{1}= \sqrt{2}, \ \ a_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ 2ab \le a^{2} + b^{2}\\ 0 \le a^{2} -2ab+ b^{2}\\ 0 \le (a-b)^{2}}\)
Prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej.
W drugim przypadku też wychodzi: \(\displaystyle{ 11^{2}=121,\ \ \ (6 \sqrt{2})^{2}=72 \\ a_{1}= \sqrt{2}, \ \ a_{2}=3}\)