Miejsca zerowe funkcji

[solmech]

Witam,

poprosilbym o sprawdzenie zadania przezemnie rozwiazanego.

Znalezc miejsca zerowe funkcji.

\(\displaystyle{ f: R \backslash - \frac{1}{2} \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ f(x) = e^\ln ( \frac{x^2+3x+2}{4x+2})}\)

Poniewaz \(\displaystyle{ e^{\ln x} = x}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2+3x+2}{4x+2} = \frac{g(x)}{h(x)}}\)

Miejsca zerowe:

\(\displaystyle{ x_{0} : g(x) = 0 \wedge h(x) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ g(x) = x^2+3x+2}\)

\(\displaystyle{ 0 = x^2+3x+2}\)

\(\displaystyle{ x _{1} = -1}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = -2}\)

Poniewaz \(\displaystyle{ h(x _{1,2} \neq 0)}\) sa to miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Pozdrawiam
Tomek

[Andreas]

Jest dobrze.

[solmech]

Dzieki.

[piasek101]

Znalezc miejsca zerowe funkcji.

\(\displaystyle{ f: R \backslash - \frac{1}{2} \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ f(x) = e^\ln ( \frac{x^2+3x+2}{4x+2})}\)

Poniewaz \(\displaystyle{ e^{\ln x} = x}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2+3x+2}{4x+2} = \frac{g(x)}{h(x)}}\)

Miejsca zerowe:

\(\displaystyle{ x_{0} : g(x) = 0 \wedge h(x) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ g(x) = x^2+3x+2}\)

\(\displaystyle{ 0 = x^2+3x+2}\)

\(\displaystyle{ x _{1} = -1}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = -2}\)

Poniewaz \(\displaystyle{ h(x _{1,2} \neq 0)}\) sa to miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Jest dobrze.

Nie zgodzę się.
Wstaw wyniki do wyjściowego i sprawdź.

[Eloy]

Gdyby funkcja \(\displaystyle{ f(x) = e^\ln ( \frac{x^2+3x+2}{4x+2})}\) miała jakiekolwiek miejsce zerowe, to oznaczałoby, że istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t}\), że \(\displaystyle{ e^{t}=0}\).

[solmech]

No ale przeciez logarytm jest funkcja odwrotna do funkcji wykladniczej, wiec powinna zostac tylko ta funkcja wymierna?

Przyklad:

\(\displaystyle{ f(1) = e^\ln ( \frac{12+3+2}{4+2}) = 1}\)

\(\displaystyle{ f(1) = \frac{12+3+2}{4+2} = 1}\)-- 8 grudnia 2009, 19:37 --Nie zgodzę się.
Wstaw wyniki do wyjściowego i sprawdź.

Masz racje. No to ja juz niczego nie rozumiem

[Eloy]

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x))=x}\) tylko wtedy, gdy x należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\), a jak wiemy 0 nie należy do dziedziny funkcji logarytmicznej.

Może taki przykład będzie bardziej obrazowy.
"Rozwiążmy" równanie:
\(\displaystyle{ sin(arcsin(x))=2}\)
nie patrząc na dziedzinę funkcji wewnętrznej.
\(\displaystyle{ x=2}\)
koniec.
Czyli sinus może być bez problemu równy 2.

Wracając do zadania z szukaniem miejsc zerowych funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e^\ln ( \frac{x^2+3x+2}{4x+2})}\) można było najpierw ustalić porządnie jej dziedzinę.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+2 \neq 0 \\ \frac{x^2+3x+2}{4x+2}>0 \end{cases}}\)

Dla x należących do dziedziny, czyli spełniających powyższy układ, istotnie możemy napisać

\(\displaystyle{ f(x) = e^{\ln ( \frac{x^2+3x+2}{4x+2})}=\frac{x^2+3x+2}{4x+2}}\).

Czyli jeśli x należy do dziedziny funkcji i jest miejscem zerowym, to spełnia taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+2 \neq 0 \\\frac{x^2+3x+2}{4x+2}>0\\ \frac{x^2+3x+2}{4x+2}=0\end{cases}}\)

Który jak widać jest sprzeczny.

[solmech]

Wielkie dzieki!!

EDIT:

Wrzucilem funkcje do Wolfram Alpha i wyszlo mi, ze ta funkcja ma miejsca zerowe w \(\displaystyle{ x _{1} = -1}\) oraz \(\displaystyle{ x _{1} = -2}\)

[Eloy]

Śmieszna sprawa z tym Wolfram Alpha, bo rozwiązuje nawet równanie \(\displaystyle{ e^{lnx}=0}\):

[solmech]

A to jaja

[Andreas]

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x))=x}\) tylko wtedy, gdy x należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\), a jak wiemy 0 nie należy do dziedziny funkcji logarytmicznej.

No fakt, o tym zapomniałem. Zasugerowałem się rozwiązaniem i wydawało się dobrze. Sorry za wprowadzanie w błąd.

[solmech]

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x))=x}\) tylko wtedy, gdy x należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\), a jak wiemy 0 nie należy do dziedziny funkcji logarytmicznej.

No fakt, o tym zapomniałem. Zasugerowałem się rozwiązaniem i wydawało się dobrze. Sorry za wprowadzanie w błąd.

Nie ma sprawy Nic sie nie stalo