Typowe zadanie na całkę krzywoliniową wygląda tak że mamy podane równanie krzywej (którą się parametryzuje) oraz podane są P i Q w wyrażeniu podcałkowym.
( ∫ Pdx + Qdy)
Jak policzyć całkę po krzywej jeśli mamy podaną tylko krzywą?(np. y=x� od x=1 do x=2),natomiast nie podane są P i Q ?.Niestety nie znalazłem takich przykładów.
całka po krzywej
całka po krzywej
Witam. Momencik, bo nie widzę w czym problem. Jeśli wiedz jaka jest geometryczna interpretacja całki krzywoliniowej i wiesz co to jest całka iterowana to nie powinno byc problemu. W razie wątpliwości: ta całkę z \(\displaystyle{ y=x^{2}}\) i x=1 do x=2 nalezy przedstawić w nastepującej postaci:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \int_{0}^{x^{2}}1dxdy}\)
Sprowadza się to do policzenia całek:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}dx\int_{0}^{x^{2}}dy}\) //to jest własnie całka iterowana.
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \int_{0}^{x^{2}}1dxdy}\)
Sprowadza się to do policzenia całek:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}dx\int_{0}^{x^{2}}dy}\) //to jest własnie całka iterowana.
całka po krzywej
Całka krzywolmiowa to calka wzdluz elementu dlugosci jrzywej \(\displaystyle{ \int f(x(s),y(s)) ds}\).
Elementem dlugosci krzywej jest \(\displaystyle{ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}\), czyli sprowadzasz calkowanie wzdluz krzywej co calkowania po x w odpowiednich granicach z elementem krzywoliniowym \(\displaystyle{ \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}\).
W podanym przykladzie \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2x}\), zatem calkujemy \(\displaystyle{ \int_1^2dx\sqrt{1+4x^2}f(x,y(x))}\).
matteoosh: policzyles pole powierzchni miedzy krzywa \(\displaystyle{ y=x^2}\) a osia x w granicach od \(\displaystyle{ x=1}\) do \(\displaystyle{ x=2}\).
Elementem dlugosci krzywej jest \(\displaystyle{ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}\), czyli sprowadzasz calkowanie wzdluz krzywej co calkowania po x w odpowiednich granicach z elementem krzywoliniowym \(\displaystyle{ \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}\).
W podanym przykladzie \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2x}\), zatem calkujemy \(\displaystyle{ \int_1^2dx\sqrt{1+4x^2}f(x,y(x))}\).
matteoosh: policzyles pole powierzchni miedzy krzywa \(\displaystyle{ y=x^2}\) a osia x w granicach od \(\displaystyle{ x=1}\) do \(\displaystyle{ x=2}\).