1)Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 12 cm, a kąt między bokami ma miarę 120°. Oblicz, jakie powinny być dłigości boków tego trójkąta, aby jego pole było największe.
2) Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 12cm Punkty M, N, P należą odpowiedbnio do boków AB, BC, AC tego trójkąta, przy czym IAMI=IBNI-ICPIJ=x. Zbadaj, dla jakiej wartości x pole trójkąta MNP będzie największe. Znajdź wartość tego pola
3)W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych dlugości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby pole było możliwie największe.
4) w trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° i przeciwprostokątnej długosci 40cm wpisujemy prostokąty w ten sposób, ze jeden bok każdego z tych prostokątów zawiera się w przeciwprostokątnej trójkąta. Zbadaj, który z tych prostokątow ma największe pole.
trójkąty w zad opytymalizacyjnych
-
forget_me-not
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 5 lis 2005, o 16:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 4 razy
trójkąty w zad opytymalizacyjnych
Zadanie pierwsze:
mamy dwa warunki:
1. \(\displaystyle{ a + b = 12}\)
2. \(\displaystyle{ P_{t} = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
z pierwszego warunku wyliczamy np. a i wstawiamy wartość do drugiego warunku.
następnie drugi warunek traktujemy jako funkcję od (b). Jej wykresem będzie parabola o ramionach skierowanych w dół. Pierwiastki to b=0 i b=12. Naszym celem jest znalezienie takiej wartości b dla której P(b) będzie największe. Po Polsku: sprowadza się to do tego, żeby znaleźć wierzchołek tej naszej paraboli.
\(\displaystyle{ W = ( \frac{-b}{2a} ; \frac{-\Delta}{4a} )}\) gdzie a,b to współczynniki w równaniu kwadratowym. Ale nas interesuje znalezienie tylko pierwszej współrzędnej wierzczołka paraboli, bo przecież nikt nie mówił o znajdywaniu wartości tego największego pola.
Oczywiście wynik będzie: a=6 i b=6.
[ Dodano: Pią Mar 17, 2006 12:11 am ]
zeby rozwiązać zdanie 3 przyjmijmy następujące oznaczenia:
Trójkąt ABC przeciwprostokątna - BC, krótsza przyprostokątna - AC.
Narysujmy sobie ten trójkąt i zaznaczmy na nim ten prostokąt. Oznaczmy wierzchołki prostokąta:
E (ten na dłuższej przyprostokątnej AB), F (na przeciwprostokątnej) G (na przyprostokątnej AC). Powstaje więc prostokąt AEFG.
Mozna zauważyć, że AE=AB-EB (AB=8 z założenia) - i to jest nasze pierwsze równanie.
z tego równania będziemy próbowali się pozbyć EB. Można to zrobić na wiele sposobów. Ja polecam TW. TALESA. Układamy proporcje: \(\displaystyle{ \frac{EF}{EB} = \frac{AC}{AB}}\)
Z tych zalezności wyliczamy EB.
I teraz to wyliczone EB wstawiamy do tego naszego pierwszego równania otrzymując równanie o dwóch niewiadomych AE i EF. Pragnę zauwazyć, że te dwa odcinki są bokami prostokąta, którego pole trzeba policzyć, a skoro mowa o polu, to przypomnijmy sobie wzór na pole prostokąta.
P = AE * EF. Taki będzie wzór. Teraz z pierwszej równości wyliczamy albo AE albo EF i wstawiamy do wzoru na pole. I powstaje nam równanie paraboli, której pierwsza współrzędna wierzchołka będzie poszukiwaną wartością jednego z boków, by pole było największe.
mamy dwa warunki:
1. \(\displaystyle{ a + b = 12}\)
2. \(\displaystyle{ P_{t} = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
z pierwszego warunku wyliczamy np. a i wstawiamy wartość do drugiego warunku.
następnie drugi warunek traktujemy jako funkcję od (b). Jej wykresem będzie parabola o ramionach skierowanych w dół. Pierwiastki to b=0 i b=12. Naszym celem jest znalezienie takiej wartości b dla której P(b) będzie największe. Po Polsku: sprowadza się to do tego, żeby znaleźć wierzchołek tej naszej paraboli.
\(\displaystyle{ W = ( \frac{-b}{2a} ; \frac{-\Delta}{4a} )}\) gdzie a,b to współczynniki w równaniu kwadratowym. Ale nas interesuje znalezienie tylko pierwszej współrzędnej wierzczołka paraboli, bo przecież nikt nie mówił o znajdywaniu wartości tego największego pola.
Oczywiście wynik będzie: a=6 i b=6.
[ Dodano: Pią Mar 17, 2006 12:11 am ]
zeby rozwiązać zdanie 3 przyjmijmy następujące oznaczenia:
Trójkąt ABC przeciwprostokątna - BC, krótsza przyprostokątna - AC.
Narysujmy sobie ten trójkąt i zaznaczmy na nim ten prostokąt. Oznaczmy wierzchołki prostokąta:
E (ten na dłuższej przyprostokątnej AB), F (na przeciwprostokątnej) G (na przyprostokątnej AC). Powstaje więc prostokąt AEFG.
Mozna zauważyć, że AE=AB-EB (AB=8 z założenia) - i to jest nasze pierwsze równanie.
z tego równania będziemy próbowali się pozbyć EB. Można to zrobić na wiele sposobów. Ja polecam TW. TALESA. Układamy proporcje: \(\displaystyle{ \frac{EF}{EB} = \frac{AC}{AB}}\)
Z tych zalezności wyliczamy EB.
I teraz to wyliczone EB wstawiamy do tego naszego pierwszego równania otrzymując równanie o dwóch niewiadomych AE i EF. Pragnę zauwazyć, że te dwa odcinki są bokami prostokąta, którego pole trzeba policzyć, a skoro mowa o polu, to przypomnijmy sobie wzór na pole prostokąta.
P = AE * EF. Taki będzie wzór. Teraz z pierwszej równości wyliczamy albo AE albo EF i wstawiamy do wzoru na pole. I powstaje nam równanie paraboli, której pierwsza współrzędna wierzchołka będzie poszukiwaną wartością jednego z boków, by pole było największe.