[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2008

[Sylwek]

Dzień 5, zadanie 4.

Rozwiązanie wzorcowe polegało na zauważeniu półniezmiennika w postaci obwodu figury będącej sumą mnogościową pól zarażonych w danym takcie - po każdym kolejnym takcie epidemii łączny obwód figury będącej sumą mnogościową wszystkich pól zarażonych jest taki sam bądź mniejszy od takowego obwodu przed danym taktem.

[limes123]

Grzegorz t, zadanie 2.6 mozna bardzo latwo zrobic inwersja

[ Dodano: 3 Listopada 2008, 23:30 ]
A co do 1.4 -> nierownosc Huygensa

[Sylwek]

Zachęcam do rozwiązywania zadań z tych warsztatów . Dla rozruszania tematów pokażę swoje rozwiązanie 1.8:

Zauważmy, że przy każdej operacji zmiany stanu świecenia sześciu kolejnych żarówek zmienimy stan dokładnie dwóch spośród żarówek: 3,6,9,12. Niezmiennikiem tej operacji jest więc parzystość liczby zaświeconych żarówek łącznie na godzinach 3,6,9,12 - ponieważ początkowo ta liczba wynosiła 1 - to nie może nigdy wynosić 0 - czyli nie możemy doprowadzić do sytuacji, że będzie świeciła tylko żarówka na godzinie 11.

[limes123]

3.2 pewnie cos z jednokladnoscia o skali 2 albo -2 ale nie bardzo mam pomysl jak dokladnie... Mozesz pokazac Twoje rozwiazanie?
3.3 - rozwazyc liczbe inwersji (np oznaczyc wroble przez 1,2,3)
3.12 - rozwazyc sume cukierkow osob na parzystych i nieparzystych miejscach
4.10 - moze rowne wagi w wierzcholkach?

aaa i jeszcze to z kostka Rubika jest ciekawe. Przedstawie tylko pomysl, bo nie wiem czy jest dobry. Zrobic plansze 3x9, ponumerowac kratki 1,2,3,...,27 i okreslic dozwolone ruchy tak
1. mozna obracac jednym z trzech kwadratow 3x3 (gornym dolnym lub srodkowym)
2. zamiana liczb w kolumnie w nastepujacy sposob - liczby ze wspolrzednymi (x,9),(x,6),(x,3) przechodza w (x,9)(x,8)(x,7) gdzie x jest numerem wiersza lub (x,7)(x,4)(x,1) przechodza w (x,9)(x,8)(x,7) (chyba jakos tak).
I moze teraz rozwazac znowu inwersje ale wydaje mi sie, ze to za bardzo udziwnione rozwiazanie... Widzialem podobny problem, ale w tej grze na plaszczyznie (jeden kwadracik pusty i trzeba ulozyc jakis obrazek) ale nie bardzo mam pomysl na to zadanie... Mozesz przedstawic swoje rozwiazanie?

[Sylwek]

3.2
To zadanie było kiedyś na małej OM, także zacytuję rozwiązanie, bo moje było identyczne:

Oczywiście istnieje trójkąt ABC, którego wierzchołki są jednego z dwóch rozważanych kolorów, powiedzmy czarnego. Jeżeli środek ciężkości G tego trójkąta jest punktem koloru czarnego, to mamy tezę. Załóżmy przeto, że jest on biały. Niech A', B' i C' będą odpowiednio obrazami punktów A, B i C w jednokładności o środku G i skali 4. Wtedy, co łatwo zauważyć, punkty A, B i C są środkami ciężkości odpowiednio trójkątów A'BC, AB'C i ABC'. Zatem, jeżeli pewien z punktów A', B' lub C' jest czarny, to wszystkie wierzchołki pewnego spośród trójkątów A'BC, AB'C lub ABC' oraz jego środek ciężkości są koloru czarnego. Jeżeli zaś wszystkie te punkty dą koloru białego, to trójkąt A'B'C' i jego środek ciężkości G spełniają tezę zadania.


3.3
Wiem, że wiesz o co chodzi, ale to nie jest pełne rozwiązanie, nawet nie zdefiniowałeś pojęcia "inwersja".


3.12
Zawsze daje cukierka osobie parzystej i nieparzystej, tzn. \(\displaystyle{ |P-N|}\) jest niezmiennikiem, a że na początku \(\displaystyle{ |P-N|=2}\), to nie będzie nigdy \(\displaystyle{ P=N}\)


4.10
Nie pomyliłeś zadań?


P.S. Nie znam rozwiązania tego z kostką Rubika ... jeszcze nie znam rozwiązania 5.1, bo nawet prowadzący nie byli w stanie sobie go szybko przypomnieć, wiem tylko, że było ono związane z wykładem o równaniach Pella.

[limes123]

ehhh chodzilo oczywiscie o 4.9. Widzialem takie rozwiazanie dla srodka ciezkosci. Sa 4 zwiazane ze soba sznurki (zwazane w jednym punkcie) kazdy sie przepuszcza przez wierzcholek i ciagnie z ta sama sila i wtedy ten wezel, w ktorym sie lacza znajdzie sie wlasnie w srodku tej kuli... pomysle jeszcze jak to udowodnic. A definicja inwersji chyba byla taka ze jest to para liczb \(\displaystyle{ a_i,a_j}\) takich, ze j>i, ale \(\displaystyle{ a_i>a_j}\) czy jakos tak ;p

[Margaretta]

Czy ktos robił zadanie 2.6 inwersją? Mogę prosić o jakąś podpowiedź? ; /
Pozdrawiam