Rownanie wykladniczne: 4^x=8x

norbitbg · Post autor: **norbitbg** » 14 mar 2006, o 09:11

Prosze o pomoc w rozwiazaniu. I bynajmniej nie interesuje mnie rozwiazanie metoda graficzna czy zgadywania...

mamuth_age · Post autor: **mamuth_age** » 14 mar 2006, o 13:55

Witam !!!

Może spróbuj tak:

\(\displaystyle{ 4^x=8x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{4^x}{8}=x\quad\Leftrightarrow\quad\frac{2^{2x}}{2^3}=x\quad\Leftrightarrow\quad 2^{2x-3}=x}\)

Teraz jak wiemy \(\displaystyle{ a^b=e^{\ln a^b}=e^{b\ln a}}\). Zatem

\(\displaystyle{ e^{(2x-3)\ln 2}=e^{\ln x}}\),

co pociąga za sobą dwie równości:

\(\displaystyle{ 2x-3=1\quad\Rightarrow\quad x=2}\)

oraz

\(\displaystyle{ x=2}\)

Rozwiązaniem jest x=2.

Pozdrawiam

g · Post autor: g » 14 mar 2006, o 14:10

po pierwsze - to powyzej jest calkowicie zle, po drugie - czy ty masz problemy ze wzrokiem?

norbitbg · Post autor: **norbitbg** » 14 mar 2006, o 14:12

Ciekawy pomysl... Nio i bardzo dobry... jeszcze raz dzieki

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 14 mar 2006, o 17:10

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć jego wszystkie rozwiązania.
Rozwiązania tego równania możemy potraktować jak miejsca zerowe funkcji
\(\displaystyle{ y\,=\,4^{x} - 8\cdot x}\)
Korzystając z programu Wykresy
możemy teraz, nie tyko zobaczyć przebieg funkcji, ale też znaleźć przybliżoną
wartość miejsc zerowych.

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 14 mar 2006, o 18:37

Ciekawy pomysl... Nio i bardzo dobry... jeszcze raz dzieki

Chyba g wyraznie napisal, ze to jest zle.

Vixy · Post autor: **Vixy** » 14 mar 2006, o 18:40

ja na poczatku tez nie zauwazylam dokladnie postaci tego równania , powinno byc wyrazniej napisane ..

mamuth_age · Post autor: **mamuth_age** » 15 mar 2006, o 07:53

Witam !!!

Macie wszyscy całkowitą rację, to jest źle rozwiązane. Niestety bez numerycznego rozwiązania tego równania, bądź też właśnie na podstawie wykresu, nie dostaniemy obu pierwiastków ze względu na użycie dwóch jakże różnych od siebie funkcji.

Przepraszam najmocniej za wprowadzenie w błąd.

Pozdrawiam

matteoosh · Post autor: **matteoosh** » 15 mar 2006, o 11:36

Witam.

Rozwiązaniem jest przybliżona wartość: 0.1549534662
Wynika to z tego, że (najprawdopodobniej) bez zastosowania odpowiednich metod numerycnzych nie można tego rozwiązać. Dlatego nie jest to rozwiązanie czysto ścisłe.

Pozdrv.