[Nierówności] Nierówność jednorodna

[pawelsuz]

Witam.
Mam dwa pytania.
1) Ostatnio natknąłem się na dowód jakiejś nierówności (trzech zmiennych) i tam było coś w stylu "widzimy, że nierówność jest jednorodna, więc możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) " Czy rzeczywiście można tak założyć i jeśli tak to dlaczego?
2) W "Wędrówkach..." w przykładzie z nierównościami jednorodnymi jest dowód, że po doprowadzeniu do postaci jednorodnej możemy porzucić założenie, że trzy zmienne sumują się do jedynki. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, po co to?

Z góry wielkie dzięki!

[frej]

1) Tak, można. Przenosząc wszystko na jedną stronę możemy potraktować nierówność jako funkcję trzech zmiennych \(\displaystyle{ f(a,b,c) \ge 0}\). Nierówność jest jednorodna, czyli \(\displaystyle{ f(ka, kb, kc ) = k^p f(a,b,c)}\) Wystarczy zatem przyjąć \(\displaystyle{ k=\frac{1}{a+b+c}}\), żeby otrzymać \(\displaystyle{ ka+kb+kc=1}\).

2) Po prostu czasami jest łatwiej patrzeć na nierówność bez żadnych zobowiązań...

[patry93]

Odkopię, ponieważ również mam problem z wyrażeniami jednorodnymi.

Posłużę się przykładem dostępnym w "Wędrówkach po krainie nierówności", a mianowicie należy dowieść, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+ \sqrt{12abc} \le 1}\)

Należy przekształcić równoważnie nierówność, wykorzystując założenie \(\displaystyle{ a+b+c=1}\), do postaci:
\(\displaystyle{ \Phi (a,b,c)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)- \sqrt{12abc(a+b+c)} \ge 0 \ (1)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \Phi (a,b,c)}\) jest wyrażeniem jednorodnym stopnia 2.
To powyżej jak najbardziej rozumiem. Problem zaczyna się dalej:
"Zakładamy, że \(\displaystyle{ (1)}\) zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c=1}\). Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą dowolnymi liczbami dodatnimi"
Rozumiem, że ostatnie zdanie wprowadza takie \(\displaystyle{ a,b,c}\), że może, ale nie musi zachodzić \(\displaystyle{ a+b+c=1}\)?
Dalej jest:
"Weźmy \(\displaystyle{ \lambda}\) takie, aby \(\displaystyle{ \lambda a + \lambda b + \lambda c = 1 \iff \lambda = \frac{1}{a+b+c}}\)"
Ten krok chyba rozumiem - wychodzimy od dowolnych liczb po to, aby dojść do postaci "suma=1" i dalej je wykorzystać.
"Z założenia \(\displaystyle{ \Phi (\lambda a, \lambda b, \lambda c) \ge 0}\). Stąd \(\displaystyle{ \Phi (a,b,c)= \lambda ^{-2} \Phi (\lambda a, \lambda b, \lambda c) \ge 0}\), co dowodzi nierówności \(\displaystyle{ (1)}\)"
Możliwe, że czegoś nie rozumiem, ale czy nie powinno być \(\displaystyle{ \Phi (a,b,c)= \lambda ^{-2} \Phi (a,b,c)}\)?
Nie wiem również, dlaczego pojawiła się tam potęga \(\displaystyle{ \lambda^{-2}}\), skoro wyrażenie jest stopnia drugiego (a tak właśnie mówi definicja, że jeżeli mamy wyr. stopnia \(\displaystyle{ p}\), to będzie \(\displaystyle{ \lambda^p}\))?

[Mayom]

a ja mam pytanie odnośnie tego co wytłumaczył frej, w punkcie 1)

To, że nierówność jest jednorodna sprawdzamy w ten sposób:
podstawiamy za a=ka
b=kb
c=kc
i przeprowadzamy działania i jak\(\displaystyle{ k}\) się skróci to nierówność jest jednorodna?

Wystarczy zatem przyjąć \(\displaystyle{ k=\frac{1}{a+b+c}}\) żeby otrzymać \(\displaystyle{ ka+kb+kc=1}\)

czemu akurat takie k? rozumiem, że po to aby \(\displaystyle{ ka+kb+kc=1}\) to wyrażenie było tożsamością.
ale dlaczego musimy dobierać jakieś \(\displaystyle{ k}\)?

[XMaS11]

Mozesz też dobrać \(\displaystyle{ m}\).

[Mayom]

bardzo śmieszne.

Przepraszam, że czegoś nie rozumiem i chciałbym się dowiedzieć.
Rozumiem, że Ty już 10 razy wygrałeś IMO, IMC itd. ale nie każdy jest taki genialny jak Ty.
Odrobina skromności jeszcze nigdy nikomu nie zaszkodziła.

[XMaS11]

Traktujesz \(\displaystyle{ ka+kb+bc=1}\) jako równanie zmiennej \(\displaystyle{ k}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) masz dane.

[Mayom]

a już rozumiem, dzięki

i przepraszam, że tak na Ciebie od razu naskoczyłem, może niesłusznie, ale mnie poniosło.

[pawelsuz]

A jak pokazać, że w nierowności jednorodnej można przyjąć iloczyn zmiennych za jakąś liczbę?

[jerzozwierz]

Analogicznie. abc=S, gdzie S jest ich iloczynem. mnożymy przez \(\displaystyle{ k^{3}}\) takie, żeby \(\displaystyle{ Sk^{3}=1}\) czy ileśtam. Rozpatrujemy wówczas dla liczb ka, kb, kc, co już praktycznie kończy sprawę.

[patry93]

A jak jest z tym stopniem wyrażeń jednorodnych? Kiedy jest ujemny? I czy przy zapisie z potęgą, należy zlikwidować współczynnik (\(\displaystyle{ \lambda, k, \ldots}\))?

[jerzozwierz]

Ehh. Może wystarczy to, że jak masz nierówność jednorodną to możesz sobie przyjąć co chcesz jednorodnego, typu \(\displaystyle{ ab+bc+ca=1, abc=1, a^n + b^n + c^n = 3412312}\). Przy dowodach wystarczy brać k w odpowiedniej potędze