Obliczyć granicę ciągu.

[acotusiewpisuje]

Mam następujący ciąg:

\(\displaystyle{ \lim_{ \ \infty } = \sqrt{n ^{2}+n } - n}\)


Czy mogę n wyciągnąć przed pierwiastek?

[Gacuteek]

nie . Pomnóż przez sprzężenie.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n ^{2}+n } - n=\lim_{n\to\infty} \frac{n ^{2}+n - n^{2}}{\sqrt{n ^{2}+n } + n}=\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n ^{2}+n } + n}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n(\sqrt{1+ \frac{1}{n} } + 1)}= \frac{1}{2}}\)

[acotusiewpisuje]

Buuu, ktoś mi może powiedzieć, skąd wzięła się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ?

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)

"n" się skraca, zatem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+1} =\frac{1}{2}}\)

[acotusiewpisuje]

Dobra n się skróciło więc w liczniku nic nie ma. Wg mnie, bo skoro się skraca to jest 0 (?).


Czyli \(\displaystyle{ \frac{0}{2}}\)

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ \frac{n}{n}=1}\) ....nieprawdaż?

[acotusiewpisuje]

Idę spać, z tego co widzę to i tak nie zaliczę.


Prawdaż, prawdaż. Tylko ja tego nie widzę. :/

-- 2 gru 2009, o 00:17 --

A jeszcze... Obiecuję, że to ostatnie, następne będzie przeze mnie wyliczone tylko do sprawdzenia.


\(\displaystyle{ \lim_{ x \rightarrow \infty } \frac{1+2+...+n}{ \sqrt{9n ^{4}+1 } }}\)



Jak poradzić sobie z wielokropkiem?

[Gacuteek]

u góry masz ciąg arytmetyczny:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \rightarrow \infty }\frac{ \frac{n(n+1)}{2}}{\sqrt{9n ^{4}+1}}=\lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{n^{2}+n}{2(n^{2}\sqrt{9+\frac{1}{n^{4}}})}=\lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{n^{2}(1+\frac{1}{n})}{2n^{2}\sqrt{9+\frac{1}{n^{4}}}}=\frac{1}{6}}\)

[acotusiewpisuje]

A.... I mam jeszcze takie (które myślałam, że rozwiążę)


\(\displaystyle{ \lim_{ x \rightarrow \infty } \frac{6 ^{n} }{1+2 ^{n}+3 ^{n} }}\)


No i generalnie 1 dąży do 1, \(\displaystyle{ 2 ^{n} i 3 ^{n}}\) do nieskończoności no i... licznik dąży też do nieskończoności, więc nieskończoność przez jeden... Bum, symbol nieoznaczony, czy znów coś źle rozkminiam?

[Gacuteek]

z twierdzenia o dwóch ciągach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{6 ^{n} }{2\cdot3 ^{n} } \le \frac{6 ^{n} }{1+2 ^{n}+3 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{6 ^{n} }{2\cdot3 ^{n} }=\lim_{ n\rightarrow \infty}\frac{2^{n}}{2}= \infty}\)

zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \rightarrow \infty } \frac{6 ^{n} }{1+2 ^{n}+3 ^{n} }=\infty}\)

[kika171]

a ja mam pytanie odnośne tej części zadania:

\(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2}+n } +n}\)

dlaczego tutaj wyciągam n^{2} czyli zostaje mi n i dzielę przez n pozostałe skladniki mianownika

a w tym przykładzie:
\(\displaystyle{ \sqrt{9 n^{4}+1 }}\)

wyciągam n^{4} -zostaje n^2 a jeden dzielę przez n^4???

[Dasio11]

Rozbijasz \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}+n=\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}=\sqrt{n^2} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}=n \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}+n=n \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}} + n \cdot 1=n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}\) i po skróceniu ena licznik dąży do pewnej stałej, czyli już nie ma nieskończoności.

[kika171]

aaa no tak, dzięki:)

[kolokolo]

Mam pytanie odnosnie pierwszego przykladu. Czemu nie mozna n wyciagnac przed pierwiastek skoro pozniej w mianowniku zostalo to zrobione?? Kiedy to n wyciagac przed pierwiastek a kiedy nie? Z gory dzieki za odp