[LXI OM] I etap

[Dolin]

Ja zrobiłem 8 zadań w całości (oby mi uznali zapis):
1,2,3,4,5,6,9,10 i 7 połowicznie.
Mam nadzieję, że starczy

PS. Nie wyjaśniłem mojej poprzedniej wtopy ze zrobieniem zadania "z lematu"
Chodziło mi o to, że w 2 zadaniu zauważyłem, że w dowolnym trójkącie różnobocznym punkt przecięcia się dwusiecznej dowolnego kąta wewnetrzego tego trójkąta z symetralną boku przeciwległego należy do okręgu opisanego na tym trójkącie.
Oczywiście popełniłem niezłą gafę - shame on me :/
EDIT:
Poprawa dużego błędu merytorycznego :/

[fafner]

mm-aops, czy to jest ten drugi czworokąt?:i jeszcze wzór na pole ;p:
\(\displaystyle{ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd*cos^2( \frac{alfa+beta}{2}) }}\)

[kubus1353]

mm-aops, czy to jest ten drugi czworokąt?:i jeszcze wzór na pole ;p:
\(\displaystyle{ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd*cos^2( \frac{alfa+beta}{2}) }}\)

no dokładnie tego wzoru na pole użyłem, przez co mi wyszło że muszą być przystające, chociaż bardzo możliwe że czegoś nie uwzględniłem... A co do tego rysunku to mam pewne wątpliwości, ale możliwe że jest dobrze!

[mm-aops]

nie wiem jaki jest ten drugi, nie dokonczylem tego zadania, grunt ze istnieje - dla przykladu rozwaz sobie jakis tam czworokat ktory ma katy ostre przy wierzcholkach A i C, "rozciagaj" go teraz trzymajac za wierzcholki B i D (tzn wydluzajac przekatna BD), pole zmienia sie w sposob ciagly i widac ze przynajmniej raz trafisz na takie samo pole.

[fafner]

mm-aops,'owi chodzi chyba o to że jak mamy wielokąt wyjściowy ABCD i DAB+BCD=alfa, to w tym drugim wielokącie to ABC+CDA=alfa
ABC i te inne podobne to kąty. O to chodzi?

[Manolin]

Mi się udało łącznie zrobić 9 zadań 1,2,3,4,5,6,7,9,10. Nad 12 kombinowałem , kombinowałem i nic nie wykombinowałem . Napisałem tylko jakiś wzór na najmniejszą liczbę potrzenych rund. ( Oczywiście wyprowadziłem go na przykładach )
Ogólnie zadania z 1 etapu było dość proste . Wydaje mi się że próg będzie wynosił gdzieś jakieś 1-2 zadania więcej niż w zeszłym roku.
PS. Wie ktoś może kiedy pojawi się lista osób zakfalikowanych do 2 etapu ??

[jerzozwierz]

Jak zrobiłeś 9 zadań to się listą nie przejmuj, tylko trzaskaj zadania do drugiego etapu

[Dumel]

w 9. znając życie pewnie wiele osób nie podało przykładu funkcji

Jakim sposobem w 10. znaleźliście pasujące liczby dla n=3,4? Metodą prób i błędów nie znalazłem żadnego pasującego układu (być może zbyt mało szczęścia co do losowości liczb? ), po czym 80% czasu straciłem na próbowanie udowodnienia, że takie n nie istnieje

np dobieramy takie k aby:
dla n=3 pasowały ciągi
(1,16,k)
(2,4, 2k)

dla n=4
(1,8,16, 2k)
(2,4,32, k)

dla n=5
(1,8,16, 256,k)
(2,4,32, 64,2k)

[BSP]

Ja zrobiłem 8 zadań (1,2,3,4,5,9,10,12), ale 9 trochę "na przypał", w 12 nie wiem czy odpowiednio to opisałem. Zrobiłbym może więcej z 2 serii, ale na ostatnią chwilę się do nich zabrałem zabrałem.
Co do 10-go, to wystarczy wykazać, że istnieje co najmniej jeden ciąg takich liczb dla dowolnego n większego od 2 (dla n=1 od razu otrzymujemy sprzeczność, dla n=2 mamy równanie kwadratowe, z którego wynika, iż \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}}\) są równe liczbom \(\displaystyle{ b_{1}}\) i \(\displaystyle{ b_{2}}\)

Na początek niech \(\displaystyle{ n=3}\)
Weźmy sobie liczby pierwsze nieparzyste \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, r}\)
spełniające \(\displaystyle{ p_{1} < p_{2} < p_{3} < r}\)
Wtedy możemy ułożyć 6 liczb różnych parami, mianowicie:
\(\displaystyle{ a_{1} = p_{1}(p_{2}+r)}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = p_{2}(p_{3}+r)}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = p_{3}(p_{1}+r)}\)

\(\displaystyle{ b_{1} = p_{2}(p_{1}+r)}\)
\(\displaystyle{ b_{2} = p_{3}(p_{2}+r)}\)
\(\displaystyle{ b_{3} = p_{1}(p_{3}+r)}\)

Równość iloczynu widać od razu, a po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy od razu równość.

Oczywiście liczby nie muszą być pierwsze, np. jeśli jako \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, r}\) weźmiemy \(\displaystyle{ 2,3,4; 3}\) to otrzymamy liczby \(\displaystyle{ 12, 21, 20; 15, 24, 14}\) które spełniają warunki zadania, ale obranie liczb pierwszych zapewnia nam różność parami.

W podobny sposób dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 3}\) obieramy liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_{1} < p_{2} < ... < p_{n} < r}\) i w podobny sposób układając w pary otrzymijemy \(\displaystyle{ a_{i}}\), po zamienieniu liczby przed nawiasem z liczbą w nawiasie mamy \(\displaystyle{ b_{i}}\), np.

\(\displaystyle{ a_{1} = p_{1}(p_{k}+r)}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = p_{2}(p_{k+1}+r)}\)
............................
\(\displaystyle{ a_{n} = p_{n}(p_{k-1}+r)}\)


\(\displaystyle{ b_{1} = p_{k}(p_{1}+r)}\)
\(\displaystyle{ b_{2} = p_{k+1}(p_{2}+r)}\)
............................
\(\displaystyle{ b_{n} = p_{k-1}(p_{n}+r)}\)

Wystarczy wymnożyć i po zadanku


W dwunastym \(\displaystyle{ c \ge \frac{3}{2}}\), rozwiązanie praktycznie widać po rozpisaniu kilku kolejnych przykładów, gorzej z udowodnieniem.
Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) ilość liczb rund wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}n - 2}\) dla n parzystego

\(\displaystyle{ 3\frac{n-1}{2}}\) dla n nieparzystego

granica w nieskończoności dla obu wyrażeń podzielonych przez n wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

PS. Wam tez nie działa strona olimpiady? Czyżby dodawali rozwiązania, bądź coś zmieniali?

[Tom3k]

W 12. też mam \(\displaystyle{ c \ge \frac{3}{2}}\). W pełni zgadzam się z Twoją analizą tego zadania i wiem że mam pewną lukę w dowodzie tylko nie wiem czy to oznacza 5, 2 czy 0 punktów

[jerzozwierz]

BSP, nie ma szans na 3/2. Koledzy informatycy na to algorytmy różne pisali i zawsze wychodziło \(\displaystyle{ c \rightarrow 2}\) Zresztą, chyba wystarczy rozpisać sobie przypadek \(\displaystyle{ n \approx 12}\) żeby przekonać się, że dla 3/2 nie da rady. Zresztą, zobaczymy jak rzucą firmówki.

[XMaS11]

Podobno Mazurowi tez 2 wyszlo xD

[jerzozwierz]

No to mamy stuprocentową odpowiedź

[pawels]

Wychodzi rzeczywiście n=2- widziałem już część firmówki i fragment w którym dowodzi sie, że c<2 nie spełniają warunków zadania wydaje się wyjątkowo trudny do wymyślenia.

Bardzo ciekawi mnie, ile osób zrobiło zadania 11 i 12- ja wysłałem 1-10 i część 12. zawierającą dowód że dla n>=2 K może zawsze wygrać. Może dostanę dwa punkty.

Co od zadania 11, to że istnieje tylko jeden PQRS nieprzystający do ABCD wynika prosto z faktu, że funkcja opisująca jego pole przy ustalonych bokach i zmieniającym sie kącie ma dokładnie jeden punkt stacjonarny. Oznacza to, że mogą być co najwyżej dwa takie czworokąty, ale przekonujac się, że ta funkcja posiada w swoim jednym punkcie stacjonarnym maksimum, widać że można dobrać przynajmniej dla niektórych jeszcze jeden czworokąt (swoja drogą maksimum jest, gdy ABCD jest wpisany w okrac i wtedy rzeczywiście PQRS musi być przystający).

Swoją drogą w mojej szkole być może pojawiło się rozwiązanie niewykorzystujące założenia o równości pól.

[waral]

w 9. znając życie pewnie wiele osób nie podało przykładu funkcji

czyli jak się nie podało to będą ciąć?:P