Korzystając z definicji obliczyć transformatę Laplace’a funkcji f(t) = cos(3t), t>=0
Proszę o rozwiązanie zadania, podanie wyniku i krótkie przedstawienie toku myślenia podczas rozwiązywania.
Transformata Laplace`a
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Transformata Laplace`a
Definicja: \(\displaystyle{ F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=\lim_{a \to \infty}\int_0^a f(t)e^{-st}dt}\)
\(\displaystyle{ \int cos3te^{-st}dt=\begin{vmatrix}u=cos3t& dv=e^{-st}dt\\ du=-3sin3tdt& v=-\frac{1}{s}e^{-st}\end{vmatrix}= -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t-\frac{3}{s}\int sin3t e^{-st}dt=\begin{vmatrix}u=sin3t& dv=e^{-st}dt\\ du=3cos3tdt& v=-\frac{1}{s}e^{-st}\end{vmatrix}= -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t-\frac{3}{s}\left( - \frac{1}{s}sint3te^{-st}+\frac{3}{s}\int cos3te^{-3t}dt \right)}\)
A więc
\(\displaystyle{ \int cos3te^{-st}dt=\frac{1}{1+\frac{9}{s^2}} \left( -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t+\frac{3}{s^2}sint3te^{-st}\right)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F(s)=\lim_{a \to \infty}\left. \frac{s^2}{9+s^2} \left( -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t+\frac{3}{s^2}sint3te^{-st}\right)\right|_{t=0}^{t=a}=\frac{s^2}{9+s^2}\cdot \frac{1}{s}=\frac{s}{9+s^2}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \int cos3te^{-st}dt=\begin{vmatrix}u=cos3t& dv=e^{-st}dt\\ du=-3sin3tdt& v=-\frac{1}{s}e^{-st}\end{vmatrix}= -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t-\frac{3}{s}\int sin3t e^{-st}dt=\begin{vmatrix}u=sin3t& dv=e^{-st}dt\\ du=3cos3tdt& v=-\frac{1}{s}e^{-st}\end{vmatrix}= -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t-\frac{3}{s}\left( - \frac{1}{s}sint3te^{-st}+\frac{3}{s}\int cos3te^{-3t}dt \right)}\)
A więc
\(\displaystyle{ \int cos3te^{-st}dt=\frac{1}{1+\frac{9}{s^2}} \left( -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t+\frac{3}{s^2}sint3te^{-st}\right)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F(s)=\lim_{a \to \infty}\left. \frac{s^2}{9+s^2} \left( -\frac{1}{s}e^{-st}cos3t+\frac{3}{s^2}sint3te^{-st}\right)\right|_{t=0}^{t=a}=\frac{s^2}{9+s^2}\cdot \frac{1}{s}=\frac{s}{9+s^2}}\)
Pozdrawiam.