Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ (x-3)^2|\sin x|=\sin x}\) w zbiorze \(\displaystyle{ <0, 2\pi>}\)
Z góry wielkie dzięki
Równanie trygonometryczne
-
kletek
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 24 paź 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: sin
- Podziękował: 2 razy
Równanie trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 30 lis 2009, o 19:53 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj całe wyrażenia matematyczne miedzy jedną parą znaków[latex] i [/latex]
Powód: Umieszczaj całe wyrażenia matematyczne miedzy jedną parą znaków
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równanie trygonometryczne
Zauważmy, że lewa strona równania ma wartość nieujemną dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), więc i prawa jego strona musi mieć wartość nieujemną. Zatem \(\displaystyle{ \sin x=|\sin x|}\) i wobec tego mamy równoważnie \(\displaystyle{ (x-3)^2\sin x=\sin x}\).
Stąd dostajemy \(\displaystyle{ [(x-3)^2-1]\sin x=0}\), więc \(\displaystyle{ (x-3)^2-1=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=0}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=4}\), lub \(\displaystyle{ x=k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).
Ponieważ z założenia ma być \(\displaystyle{ x\in[0,2\pi]}\), to wobec powyższego rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ 0, 2, \pi, 4, 2\pi}\).
Stąd dostajemy \(\displaystyle{ [(x-3)^2-1]\sin x=0}\), więc \(\displaystyle{ (x-3)^2-1=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=0}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=4}\), lub \(\displaystyle{ x=k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).
Ponieważ z założenia ma być \(\displaystyle{ x\in[0,2\pi]}\), to wobec powyższego rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ 0, 2, \pi, 4, 2\pi}\).