Calki funkcji niewymiernych

[guardiola]

Witam!
Mam problem z rozwiazaniem tej oto calki:
\(\displaystyle{ \int\frac{2x^{2}+3x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx}\)

[PawelJan]

Klasyczna metoda współczynników nieoznaczonych. W czym właściwie tkwi problem?

[guardiola]

nie wiem jak sie mam zabrac za to zadanie czy mam liczyc pochodne, czy cos podstawiac?

[PawelJan]

Całkowanie przez części /co zapewne rozumiesz pisząc "liczyć pochodne"/ i przez podstawienie to nie jedyne sposoby liczenia całek, napisałem, metoda współczynników nieoznaczonych.

Korzystasz z twierdzenia podanego np. w ... znaczonych

[guardiola]

a jak moge sprowadzic ta licznik do postaci \(\displaystyle{ W_{n-1}}\)?

[PawelJan]

Pytasz, jak możesz wyznaczyć współczynniki tego wielomianu oraz tę stałą A przy całce na stronce Wikipedii.W Twoim przypadku wielomian o stopień mniejszy to wielomian postaci ax+b. Podstawmy to:

\(\displaystyle{ \int\frac{2x^{2}+3x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=(ax+b)\sqrt{x^{2}+1}+A\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}}}\)

Policzmy obustronnie pochodną po x:

\(\displaystyle{ \frac{2x^{2}+3x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}=a\sqrt{x^{2}+1}+\frac{2x(ax+b)}{2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{A}{\sqrt{x^{2}+1}}}\)

Mnożysz obustronnie przez pierwiastek i porównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach x po obu stronach, wyznaczając właśnie poszukiwane współczynniki. Masz 3 do znalezienia: a,b,A oraz 3 potęgi x: 0,1,2. 3 równania, 3 niewiadome.

[guardiola]

wiec zgodnie z tym co piszesz to:
a=3
b=1
A=-3
teraz wstawiam to do rownania i mam:
\(\displaystyle{ \int(2x^2+3x+1)dx=3+3x+1-3}\)
czy moze zle mysle?

[PawelJan]

Nie zauważyliśmy błędu u mnie - brakło x przy jednej pochodnej, już poprawione.

Wychodzi a=1, b=3 i A=0, czyli nasza całka jest równa po prostu \(\displaystyle{ (x+3)\sqrt{x^2+1}+C}\).

[guardiola]

wielkie dzieki

[Mbach]

Nie trzeba tej metody stosować.
Można licznik rozbić tak, aby był funkcją złożoną x^2 + 1 i pochodnej tego wyrażeni moim zdaniem prościej