baardzo trudne łamigłówki

[She16]

1. Dziadek Edka ma pasiekę. Piąta część jego pszczół siedzi na kwiatach jasminu, a trzecia część na kwiatach hiacyntu. Na kwiatki róży pofrunęła liczba pszczół równa potrojonej różnicy wymienionych liczb pszczół, a ostatnia pszczoła z roju lata Edkowi koło nosa. Ile pszczół jest w tym roju?

2. Otwarty kran z zimną wodą może napełnić wannę w ciągu 4 minut, a kran z ciepłą wodą w ciągu 36 minut. Opróżnianie pełnej wanny trwa 8 min. Odkręcono oba krany (z ciepłą i zimną wodą) i otwarto odpływ. Po jakim czasie woda w wannie zacznie sie przelewać?

3. Pan Abacki hoduje kury, gęsi, owce i kozy, różną liczbę sztuk każdego gatunku. Suma wszystkich głów i nóg jest mniejsza od 100, przy czym nóg jest 3 razy więcej niż głów. Cena jednej sztuki odpowiada liczbie sztuk danego gatunku, natomiast średnia cena jednej sztuki w hodowli równa sie cenie kury. Owiec jest więcej niż kóz, gęsi zaś 3 razy mniej niż owiec. Ile kur, gęsi, owiec i kóz hoduje Pan Abacki?

4. Jaki najwiekszy sześcian można zbudować z jednego kawałka blachy w kształcie kwadratu o boku 6 cm?

Wydaje mi się, że największy kwadrat może mieć bok o dł. 3 cm, ale czy może być większy?

5. Weź dowolna liczbę dwucyfrową. Odejmij od niej sumę cyfr. Następnie wynik podziel przez 9. Co stwierdziles?

Swierdziłam, że wynikiem wszystkich liczb dwucyfrowych jest cyfra dziesiątek początkowej liczby, ale nie wiem jak to mam wyjaśnić.

6. Prostokąt o bokach 4 i 25 podziel na 3 części, z których da się ułożyc kwadrat.

7. Na jaką najmniejsza liczbe części należy podzielic prostokąt o wym. 9 x 25 aby mozna było z nich zbudować kwadrat o wym. 15 x 15.

8. Węgiel kamienny w kopalni zawiera ok. 2 % wody po wydobyciu na powierzchnię węgiel chłonie wodę aż do zawartości 13%. O ile procent zwiększy sie cięzar wegla na powierzchni?

9. Wsazówki zegara wskazują dokładnie godz. 9. obliczyć po ilu min od tej chwili licząc, wskazówka minutowa dogoni wskazówke godzinową.

10. W miejsce * wpisz cyfry od 1 do 9 (każda cyfra może byc użyta tylko raz) tak, aby poniżej podane działanie było poprawne.
* * * *
x *
_______
* * * *

11. - ile waży ten worek ziemniaków? - zapytał klient.
- 50 funtów, dzielone przez połowe jego wagi - odparł sprzedawca.
Ile ważył worek ziemniaków?

Wyszło mi 2 funty, ale czy to jest poprawne?

[mat3j86]

jaśmin = \(\displaystyle{ \frac{1}{5} x}\)
na hiacyntach \(\displaystyle{ \frac{1}{3} x}\)
na różach \(\displaystyle{ 3(\frac{1}{3} x-\frac{1}{5} x)}\)
Została \(\displaystyle{ 1}\)
wszystkich jest \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{5} x+\frac{1}{3} x+3(\frac{1}{3} x-\frac{1}{5} x)+1=x}\)

[Jan Kraszewski]

5. Weź dowolna liczbę dwucyfrową. Odejmij od niej sumę cyfr. Następnie wynik podziel przez 9. Co stwierdziles?

Swierdziłam, że wynikiem wszystkich liczb dwucyfrowych jest cyfra dziesiątek początkowej liczby, ale nie wiem jak to mam wyjaśnić.

\(\displaystyle{ 10x+y-(x+y)=9x}\)
\(\displaystyle{ 9x:9=x}\)

JK

[tomcio1243]

5) wszystkie wyniki są podzielne przez 9
\(\displaystyle{ 43-7=36}\)
itp xD

[She16]

Panie Janie Kraszewski mógłby mi Pan to jasniej wytłumaczyć? Nie rozumiem skąd Panu wzięło się
9x : 9 = x i jak będzie wyglądać dalsze rozwiązanie.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x}\) - cyfra dziesiątek,
\(\displaystyle{ y}\) - cyfra jedności,
Rozważana liczba dwucyfrowa: \(\displaystyle{ 10x+y}\),
Różnica liczby i sumy jej cyfr: \(\displaystyle{ 10x+y-(x+y)}\),
Wynik powyższego działania: \(\displaystyle{ 9x}\),
Podzielenie tego wyniku przez dziewięć: \(\displaystyle{ 9x:9}\), lub, jak wolisz \(\displaystyle{ \frac{9x}9}\),
Wynik: \(\displaystyle{ x}\), czyli cyfra dziesiątek.
Koniec rozwiązania.

JK

[xiikzodz]

11. - ile waży ten worek ziemniaków? - zapytał klient.
- 50 funtów, dzielone przez połowe jego wagi - odparł sprzedawca.
Ile ważył worek ziemniaków?

Wyszło mi 2 funty, ale czy to jest poprawne?

Nie. Ułóż równanie, w ktorym niewiadoma to waga worka.

[She16]

Nie. Ułóż równanie, w ktorym niewiadoma to waga worka.

x - waga worka

50:1/2x = 50 * 2x = 100x

Czy to jest poprawnie zapisany wzór i koniec jego rozwiązania? W takim razie dalej nie wiem ile wynosi jego waga.

Kurcze te wszystkie łamigłówki to dla mnie czarna magia.

[mat3j86]

Nie. Ułóż równanie, w ktorym niewiadoma to waga worka.

x - waga worka

50:1/2x = 50 * 2x = 100x

Czy to jest poprawnie zapisany wzór i koniec jego rozwiązania? W takim razie dalej nie wiem ile wynosi jego waga.

Kurcze te wszystkie łamigłówki to dla mnie czarna magia.

waga całego worka \(\displaystyle{ = x}\)
waga worka = \(\displaystyle{ 50: \frac{1}{2} x}\)
\(\displaystyle{ 50: \frac{1}{2} x=x}\)
\(\displaystyle{ 25=x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=5 \cup x=-5}\)
waga worka wynosi 5 kg

[sq7obj]

2.
Uznaje, że pełna wanna=1, czyli:
\(\displaystyle{ 1=4min*z}\) - zimna woda
\(\displaystyle{ 1=36min*c}\) - ciepła woda
\(\displaystyle{ 1=8min*o}\) - odpływ

Czyli, gdy mamy odkręcone oba krany i otworzony jest odpływ, ilość wody w wannie można określić równaniem: \(\displaystyle{ zx+cx-ox= \frac{1}{4}*x +\frac{1}{36}*x-\frac{1}{8}*x}\), gdzie x to czas w minutach. Sprawdzamy, kiedy to równanie będzie miało wynik >1.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}*x +\frac{1}{36}*x-\frac{1}{8}*x>1 \\
\frac{11}{72}*x>1 \\
\frac{11}{72}>\frac{1}{x} \\
x>\frac{72}{11}}\)
Czyli wanna będzie przepełniona po czasie \(\displaystyle{ \frac{72}{11}}\), czyli \(\displaystyle{ 6\frac{6}{11}}\). W przybliżeniu 6.5 minuty.

4.
Przypomnienie: sześcian ma 6 równych, kwadratowych ścian, jak sama nazwa wskazuje.

Gdybyśmy wzięli ściany o długości boku 3, jak sugerujesz, moglibyśmy zrobić tylko 4 takie ściany.
Według mnie największy możliwy do zbudowania sześcian będzie miał wymiary \(\displaystyle{ 2x2x2}\). Narysuj sobie kwadrat o boku 6, w nim 6 kwadratów o bokach 2 (sugeruje w rzędzie przy dwóch naprzeciwległych bokach), i przyjrzyj się.

8.
\(\displaystyle{ c}\) - ciężar samego węgla
\(\displaystyle{ C_{1}}\) - ciężar węgla + wody pod powierzchnią
\(\displaystyle{ C_{2}}\) - ciężar węgla + wody na powierzchni
\(\displaystyle{ C_{1}=c+0,02c}\)
\(\displaystyle{ C_{2}=c+0,13c}\)
Przyrost ciężaru: \(\displaystyle{ \frac{C_{2}}{C_{1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c+0,13c}{c+0,02c}=\frac{1+0,13}{1+0,02}=1\frac{11}{102} \approx 1,108}\)

[Maciek.mat]

Co do worka, w zadaniu tym jest błąd. Jeśli waga worka jest wyrażona w jednostkach wagi, czyli w funtach, to jak 50 funtów podzielę przez połowę jego wagi, to otrzymam jednostkę bezwymiarową. Nie wiem, czy autor tej zagadki w ogóle myślał nad tym. Dzieląc te 50 funtów przez połowę wagi, obliczę ile połówek wagi mieści się w całej tej wadze i w każdym przypadku niezależnie od tego, co w nim było, czy ziemniaki czy marchewka, zawsze wyjdzie sama liczba bez jednostki. Gdyby pominąć tą kwestię, to rozwiązanie przedstawiałoby się tak:
\(\displaystyle{ \frac{50 f}{0,5m} = m}\)
\(\displaystyle{ \frac{100 f}{m} = m}\)
\(\displaystyle{ 100 f= m^{2}}\)
\(\displaystyle{ m = 10 \sqrt{f}}\)
Jak widać masa musiałaby być wyrażona w jednostce "pierwiastek kwadratowy z funta", co jest sprzecznością.
Wynik będzie inny, chyba że za pierwszym razem będą funty, a za drugim kilogramy.

[Matematyq]

1) zrobione przez mat3j86
2) zrobione przez sq7obj
3)
Pan Abacki hoduje kury, gęsi, owce i kozy
\(\displaystyle{ u = ilosc}\) \(\displaystyle{ kur}\)
\(\displaystyle{ g = ilosc}\) \(\displaystyle{ gesi}\)
\(\displaystyle{ o = ilosc}\) \(\displaystyle{ owiec}\)
\(\displaystyle{ k = ilosc}\) \(\displaystyle{ koz}\)

przy czym nóg jest 3 razy więcej niż głów
\(\displaystyle{ ilosc}\) \(\displaystyle{ nog = 3 \cdot \left( u+g+o+k \right)}\)
ilosc nog mozemy policzyc inaczej
\(\displaystyle{ ilosc}\) \(\displaystyle{ nog = 2 \cdot \left(u+g\right)+4 \cdot \left( o+k\right)}\)
mozemy przyrownac oba sposoby
\(\displaystyle{ 3 \cdot \left( u+g+o+k \right) = 2 \cdot \left(u+g\right)+4 \cdot \left( o+k\right)}\)
po uproszczeniu
\(\displaystyle{ u+g = o+k}\)

Cena jednej sztuki odpowiada liczbie sztuk danego gatunku
\(\displaystyle{ u = ilosc}\) \(\displaystyle{ kur}\) \(\displaystyle{ (takze}\) \(\displaystyle{ cena}\) \(\displaystyle{ jednej}\) \(\displaystyle{ kury)}\)
\(\displaystyle{ g = ilosc}\) \(\displaystyle{ gesi}\) \(\displaystyle{ (takze}\) \(\displaystyle{ cena}\) \(\displaystyle{ jednej}\) \(\displaystyle{ gesi)}\)
\(\displaystyle{ o = ilosc}\) \(\displaystyle{ owiec}\) \(\displaystyle{ (takze}\) \(\displaystyle{ cena}\) \(\displaystyle{ jednej}\) \(\displaystyle{ owcy)}\)
\(\displaystyle{ k = ilosc}\) \(\displaystyle{ koz}\) \(\displaystyle{ (takze}\) \(\displaystyle{ cena}\) \(\displaystyle{ jednej}\) \(\displaystyle{ kozy)}\)

natomiast średnia cena jednej sztuki w hodowli równa sie cenie kury
\(\displaystyle{ \frac{u^{2}+g^{2}+o^{2}+k^{2}}{u+g+o+k} = u}\)
bierzemy wczesniej wyznaczone rownanie
\(\displaystyle{ u+g = o+k}\)
i podnosimy do kwadratu obie strony
\(\displaystyle{ \left( u+g \right) ^{2} = \left( o+k \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ u^{2} + 2 \cdot u \cdot g+g^{2} = o^{2} + 2 \cdot o \cdot k + k^{2}}\)
i wyznaczamy sobie
\(\displaystyle{ o^{2} + k^{2} = u^{2} + g^{2} +2 \cdot u \cdot g - 2 \cdot o \cdot k}\)
a wczesniej wyznaczylismy
\(\displaystyle{ u+g = o+k}\)
i wstawiamy prawe strony wyznaczonych do naszego duzego ulamka z liczona srednia otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{u^{2}+g^{2}+u^{2}+g^{2} +2 \cdot u \cdot g - 2 \cdot o \cdot k }{u+g+u+g} = u}\)

\(\displaystyle{ \frac{2* \left( u^{2}+g^{2} + u \cdot g - o \cdot k \right) }{2* \left( u+g \right)} = u}\)

\(\displaystyle{ \frac{2* \left( u^{2}+g^{2} + u \cdot g - o \cdot k \right) }{2* \left( u+g \right)} = u}\)

\(\displaystyle{ u^{2}+g^{2} + u \cdot g - o \cdot k = u^{2} + u \cdot g}\)

\(\displaystyle{ g^{2} = o \cdot k}\)

gęsi zaś 3 razy mniej niż owiec
\(\displaystyle{ o = 3 \cdot g}\)
wstawiamy do rownania wyzej
\(\displaystyle{ g^{2} = 3 \cdot g \cdot k}\)
\(\displaystyle{ g = 3 \cdot k}\)
\(\displaystyle{ o = 3 \cdot g = 9 \cdot k}\)

mamy juz wyznaczone gesi i owce od koz, jeszcze kury zostaly, najprosciej z rownania
\(\displaystyle{ u+g = o+k}\)
\(\displaystyle{ u+3 \cdot k = 9 \cdot k+k}\)
\(\displaystyle{ u = 7 \cdot k}\)

Suma wszystkich głów i nóg jest mniejsza od 100
\(\displaystyle{ 3 \cdot u+3 \cdot g+5 \cdot o+5 \cdot k<100}\)
\(\displaystyle{ 21 \cdot k+9 \cdot k+45 \cdot k+5 \cdot k<100}\)
\(\displaystyle{ 80 \cdot k<100}\)
mozemy zalozyc, ze k jest liczba calkowita dodatnia, wiec
\(\displaystyle{ k=1}\)

\(\displaystyle{ u = 7 \cdot k = 7}\)
\(\displaystyle{ g = 3 \cdot k = 3}\)
\(\displaystyle{ o = 9 \cdot k = 9}\)

Odp. 7 kur, 3 gesi, 9 owiec i 1 koze.

-- 28 lis 2009, o 13:13 --

4) Nigdzie nie jest powiedziane, ze boki maja byc pojedynczymi kawalkami nie zlozonymi z mniejszych, wiec dla najwiekszego szescianu pole powierzchni szescianu rowne jest polu posiadanego kawalka blachy

\(\displaystyle{ Pp.szescianu = 6 \cdot a ^{2}}\)

\(\displaystyle{ P.blachy = 6 ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 6 \cdot a ^{2} = 6 ^{2}}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} = 6}\)

\(\displaystyle{ a = \sqrt{6}}\)

Odp. Szescian o boku dlugosci pierwiastka z 6.

-- 28 lis 2009, o 13:25 --

5) zrobione przez Jan Kraszewski
6)
Pole musi byc takie samo, wiec szukamy kwadratu o boku 10


7)
dowodzimy, ze podzial na 2 czesci jest niemozliwy
kazda czesc moze miec conajwyzej 15 szerokosci,
wiec podzialu dokonamy gdzies miedzy czerwonymi liniami,

otrzymujac 2 czesci o wymiarach conajmniej 10x9,
ktore w jakikolwiek sposob ulozone obok siebie zawsze przekrocza 15

pokazujemy mozliwy podzial na 3 czesci


8)
tresc nalezy rozumiec w ten sposob, ze jesli węgiel kamienny w kopalni zawiera ok. 2 % wody oznacza to, ze na jego ciezar sklada sie ciezar wegla wlasciwego stanowiacy 98% calosci masy nr1 oraz ciezar wody stanowiacy 2% calosci masy nr1, natomiast po wydobyciu na powierzchnię węgiel chłonie wodę aż do zawartości 13%, czyli na nowa wieksza mase sklada sie ciezar wegla wlasciwego stanowiacy 87% masy nr2 oraz ciezar wody stanowiacy 13% masy nr2. ciezar wegla wlasciwego w obu masach jest ten sam. liczac mase nr1 wzgledem tej stalej otrzymamy
\(\displaystyle{ m1 = \frac{100}{98} \cdot c}\)
gdzie 'c' to masa wlasciwa wegla nasza stala,
liczac mase nr2 wzgledem tej stalej otrzymamy
\(\displaystyle{ m2 = \frac{100}{87} \cdot c}\)
procentowy przyrost ciezaru/masy to oczywiscie
\(\displaystyle{ \frac{m2}{m1} - 1 = \frac{11}{87} \approx 12,5 \%}\)

Odp. o 11/87 czyli w przyblizeniu 12,5%.

9)
wskazowka minutowa pokazuje minut 0 i przesuwamy ja o \(\displaystyle{ x}\) minut
wskazowka godzinowa pokazuje minut 45 i przesuwamy ja o \(\displaystyle{ \frac{1}{12} \cdot x}\) minut
\(\displaystyle{ 45+ \frac{1}{12} \cdot x = 0 + x}\)
\(\displaystyle{ \frac{11}{12} \cdot x = 45}\)
\(\displaystyle{ x = 49 \frac{1}{11}}\)

Odp. po 49 i 1/11 minut.