przestrzeń z miarą

[Kaya23]

Proszę o rozwiązanie

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest ciałem na \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda : \mathcal{F} \rightarrow \left[0, \right \infty]}\) jest miarą, to \(\displaystyle{ \lambda^{*}}\) dana wzorem:

\(\displaystyle{ \lambda_{*} (A) = sup \lbrace \sum_{n=1}^{ \infty } \lambda (A_{n}) : \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_{n} \subseteq A, A_{i} \in \mathcal{F}, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \mathcal{N}, i \neq j \rbrace}\)

spełnia warunki:
1) \(\displaystyle{ \lambda_{*} (\emptyset) = 0}\),
2) \(\displaystyle{ \lambda_{*} (A) \ge \sum_{n=1}^{ \infty } \lambda_{*} (A_{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ A \supseteq \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_{n}, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset}\).

[knrt]

1. Jest oczywisty. Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty, którego miara z definicji wynosi 0. Stąd to supremum też wynosi zero.

[Ein]

2. Każdy \(\displaystyle{ A_i}\) aproksymuj sumą \(\displaystyle{ \sum_j B_j}\), gdzie \(\displaystyle{ B_j\in\mathcal{F}}\) (jak w definicji \(\displaystyle{ \lambda_*}\)). Otrzymasz przeliczalną sumę przeliczalnych sum, czyli przeliczalną sumę, aproksymującą od dołu \(\displaystyle{ A}\).