Pomocy
Pokazać, że dla \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), jeśli \(\displaystyle{ \mu^{*} (A) = 0}\), to \(\displaystyle{ A \in \mathcal{C}(\mu^{*})}\).
miara zewnętrzna
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3949
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 931 razy
miara zewnętrzna
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ E\subseteq X}\). Mamy
\(\displaystyle{ 0\leqslant \mu^*(A\cap E) \leqslant \mu^*(A)=0}\)
skąd \(\displaystyle{ \mu^*(A\cap E) = 0}\). Co więcej, \(\displaystyle{ \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E)\leqslant \mu^*(E)}\) a zatem
\(\displaystyle{ \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E)\leqslant \mu^*(E).}\)
Przeciwna nierówność zachodzi zawsze, gdyż
\(\displaystyle{ E = (A\cap E) \cup (A^{{\rm c}}\cap E)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu^*(E)\leqslant \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E).}\)
\(\displaystyle{ 0\leqslant \mu^*(A\cap E) \leqslant \mu^*(A)=0}\)
skąd \(\displaystyle{ \mu^*(A\cap E) = 0}\). Co więcej, \(\displaystyle{ \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E)\leqslant \mu^*(E)}\) a zatem
\(\displaystyle{ \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E)\leqslant \mu^*(E).}\)
Przeciwna nierówność zachodzi zawsze, gdyż
\(\displaystyle{ E = (A\cap E) \cup (A^{{\rm c}}\cap E)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu^*(E)\leqslant \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^{{\rm c}}\cap E).}\)