Zadanie jest takie:
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\). Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest "na" wtw dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h,g: B \rightarrow C\hbox{ jeśli }g\circ f=h\circ f\hbox{, to }h=g\hbox{.}}\)
Bardzo proszę o pomoc.
Warunek suriekcji
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Warunek suriekcji
1) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją (na)
2) dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h,g: B \rightarrow C\hbox}\) jeśli \(\displaystyle{ g\circ f=h\circ f\hbox}\) to \(\displaystyle{ h=g\hbox{.}}\)
\(\displaystyle{ 2) \Rightarrow 1)}\)
Załóżmy, nie wprost, że funkcja f nie jest suriekcją. Wówczas istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y}\) nie należy do obrazu funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wówczas łatwo wskażemy przykład na to, że warunek 2) nie jest prawdziwy: bierzemy funkcje \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ f}\) o różnych wartościach w punkcie \(\displaystyle{ y}\), a w pozostałych punktach o takich samych wartosciach
\(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\)
Załóżmy surjektywność odwzorowania \(\displaystyle{ f}\). Pokażę, że wówczas prawdziwy jest warunek 2). Niech \(\displaystyle{ h,g: B \rightarrow C\hbox}\) i \(\displaystyle{ g\circ f=h\circ f\hbox}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest dowolnym zbiorem. Wówczas:
\(\displaystyle{ g(f(x))=h(f(x))}\)
dla każdego \(\displaystyle{ x \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją, tak więc dla każdego \(\displaystyle{ y \in B}\) istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x)=y}\). Stąd mamy:
\(\displaystyle{ g(y)=h(y)}\)
dla każdego \(\displaystyle{ y \in B}\), czyli równość funkcji w każdym punkcie. Oczywiście daje nam to żądaną tezę.
2) dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) i dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h,g: B \rightarrow C\hbox}\) jeśli \(\displaystyle{ g\circ f=h\circ f\hbox}\) to \(\displaystyle{ h=g\hbox{.}}\)
\(\displaystyle{ 2) \Rightarrow 1)}\)
Załóżmy, nie wprost, że funkcja f nie jest suriekcją. Wówczas istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y}\) nie należy do obrazu funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wówczas łatwo wskażemy przykład na to, że warunek 2) nie jest prawdziwy: bierzemy funkcje \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ f}\) o różnych wartościach w punkcie \(\displaystyle{ y}\), a w pozostałych punktach o takich samych wartosciach
\(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\)
Załóżmy surjektywność odwzorowania \(\displaystyle{ f}\). Pokażę, że wówczas prawdziwy jest warunek 2). Niech \(\displaystyle{ h,g: B \rightarrow C\hbox}\) i \(\displaystyle{ g\circ f=h\circ f\hbox}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest dowolnym zbiorem. Wówczas:
\(\displaystyle{ g(f(x))=h(f(x))}\)
dla każdego \(\displaystyle{ x \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją, tak więc dla każdego \(\displaystyle{ y \in B}\) istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x)=y}\). Stąd mamy:
\(\displaystyle{ g(y)=h(y)}\)
dla każdego \(\displaystyle{ y \in B}\), czyli równość funkcji w każdym punkcie. Oczywiście daje nam to żądaną tezę.