Witam. Mógłbym ktoś pomóc w rozwiązaniu takich równań:
1. \(\displaystyle{ y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2} }}\)
2. \(\displaystyle{ y'= \frac{y ^{2}-2xy-x ^{2}}{y ^{2}+2xy-x ^{2} }}\)
Z góry dziękuje. Pozdrawiam
Równanie różniczkowe I rzędu
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie różniczkowe I rzędu
W obu podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}\ \Rightarrow \ y=tx\ \Rightarrow \ y'=t'x+t}\)
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
Równanie różniczkowe I rzędu
No właśnie próbowałem zrobić w ten sposób ale coś mi nie wychodzi. Mógłbyś mi rozpisać dla przykładu to pierwsze róznanie, byłbym bardzo wdzięczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie różniczkowe I rzędu
\(\displaystyle{ y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2} }=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{y^2}{x^2}}}\)
Po podstawieniu masz
\(\displaystyle{ t'x+t=\frac{2t}{1-t^2}\ \Rightarrow \ t'x=\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}\ \Rightarrow \ \frac{1-t^2}{t+t^3}dt=\frac{dx}{x}}\)
Dalej, rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{t+t^3}=\frac{1}{t}-\frac{2t}{1+t^2}}\)
Zatem mamy po obliczeniu całek
\(\displaystyle{ ln|t|-ln(1+t^2)=ln|x|+ln|c|\ \Rightarrow \ cx=\frac{t}{1+t^2}}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) i upraszczasz. Wynik wychodzi w postaci uwikłanej.
Pozdrawiam.
Po podstawieniu masz
\(\displaystyle{ t'x+t=\frac{2t}{1-t^2}\ \Rightarrow \ t'x=\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}\ \Rightarrow \ \frac{1-t^2}{t+t^3}dt=\frac{dx}{x}}\)
Dalej, rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{t+t^3}=\frac{1}{t}-\frac{2t}{1+t^2}}\)
Zatem mamy po obliczeniu całek
\(\displaystyle{ ln|t|-ln(1+t^2)=ln|x|+ln|c|\ \Rightarrow \ cx=\frac{t}{1+t^2}}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) i upraszczasz. Wynik wychodzi w postaci uwikłanej.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
Równanie różniczkowe I rzędu
A jak dzielimy wszystko przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) to nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{y'}{x ^{2} }= \frac{2t}{1-t ^{2} }}\)??
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równanie różniczkowe I rzędu
Ale to nie będzie to samo równanie
Nie dzielimy obu stron równania, dzielimy tylko po prawej stronie - i licznik i mianownik.
Pozdrawiam.
Nie dzielimy obu stron równania, dzielimy tylko po prawej stronie - i licznik i mianownik.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa