Równanie różniczkowe I rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
unibike_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: unibike_89 » 25 lis 2009, o 23:36

Witam. Mógłbym ktoś pomóc w rozwiązaniu takich równań:

1. \(\displaystyle{ y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2} }}\)
2. \(\displaystyle{ y'= \frac{y ^{2}-2xy-x ^{2}}{y ^{2}+2xy-x ^{2} }}\)
Z góry dziękuje. Pozdrawiam

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: BettyBoo » 26 lis 2009, o 00:02

W obu podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}\ \Rightarrow \ y=tx\ \Rightarrow \ y'=t'x+t}\)

Pozdrawiam.

unibike_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: unibike_89 » 26 lis 2009, o 00:05

No właśnie próbowałem zrobić w ten sposób ale coś mi nie wychodzi. Mógłbyś mi rozpisać dla przykładu to pierwsze róznanie, byłbym bardzo wdzięczny.

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: BettyBoo » 26 lis 2009, o 00:46

\(\displaystyle{ y'= \frac{2xy}{x ^{2}-y ^{2} }=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{y^2}{x^2}}}\)

Po podstawieniu masz

\(\displaystyle{ t'x+t=\frac{2t}{1-t^2}\ \Rightarrow \ t'x=\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}\ \Rightarrow \ \frac{1-t^2}{t+t^3}dt=\frac{dx}{x}}\)

Dalej, rozkład na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{t+t^3}=\frac{1}{t}-\frac{2t}{1+t^2}}\)

Zatem mamy po obliczeniu całek

\(\displaystyle{ ln|t|-ln(1+t^2)=ln|x|+ln|c|\ \Rightarrow \ cx=\frac{t}{1+t^2}}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) i upraszczasz. Wynik wychodzi w postaci uwikłanej.

Pozdrawiam.

unibike_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: unibike_89 » 26 lis 2009, o 00:58

A jak dzielimy wszystko przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) to nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{y'}{x ^{2} }= \frac{2t}{1-t ^{2} }}\)??

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: BettyBoo » 26 lis 2009, o 01:09

Ale to nie będzie to samo równanie

Nie dzielimy obu stron równania, dzielimy tylko po prawej stronie - i licznik i mianownik.

Pozdrawiam.

unibike_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lis 2009, o 23:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: unibike_89 » 26 lis 2009, o 01:21

Acha, to dlatego mi nie wychodziło. Wielkie dzięki, pozdrawiam

ODPOWIEDZ