Granica dwóch funckji

[igotfeeling]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} sinx^{tgx}}\)

Próbowałem to robić w taki sposób że robie podstawe jako \(\displaystyle{ e}\) i wchodze z granica do wykładnika, a potem robie Hospitala ale jakoś nie moge skończyć tego Hospitala :/

\(\displaystyle{ e^{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tgx\cdot lnsinx}=e^{...}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tgx\cdot lnsinx}= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{lnsinx}{\frac{1}{tgx}}} =^{H}_{{\frac{0}{0}}}\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{\frac{cosx}{sinx}}{\frac{1}{cos^2 x}}}\)

Liczyłem jeszcze Hospitala 3 razy z czego w 3 sobie darowałem bo już chyba błądze :/
Cosinus w tym wypadku to jest coś bardzo małego dodatniego tak? Nie moge pisać za niego zera?


Drugi przykład
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty} \frac{ln(1+3^x)}{4^x}}\)
Tutaj mamy od razu \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) prawda? Jak robię Hospitala to widze że nie umiem pozbyć się ani \(\displaystyle{ 3^x}\) ani \(\displaystyle{ 4^x}\)
Jak to zrobić?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty} \frac{\ln(1+3^x)}{4^x}=\lim_{ x\to - \infty} \frac{1}{4^x} \ln(1+3^x)= \lim_{ x\to - \infty} \left( \frac{3}{4} \right)^x \cdot \ln \left(1 +3^x \right)^\frac{1}{3^x}}\)

W pierwszym jest błąd: \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\tg^2 x} \right)' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{-1}{\tg^2 x}}\) - wtedy wychodzi po jednym użyciu.

[igotfeeling]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty} \frac{\ln(1+3^x)}{4^x}=\lim_{ x\to - \infty} \frac{1}{4^x} \ln(1+3^x)= \lim_{ x\to - \infty} \left( \frac{3}{4} \right)^x \cdot \ln \left(1 +3^x \right)^\frac{1}{3^x}}\)

Zatem \(\displaystyle{ g=+\infty}\) ??

Jeśli tak to doszedłem właśnie do tego w troszkę inny sposób, mianowicie (jeśli ktoś mi powie że jest poprawny to będzie miło)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} 3^x = \lim_{x \to -\infty} 4^x = g =0 = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} x}\) Jeśli ten wywód jest prawdziwy to moge użyć sobie wzoru

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{log_a(1+x)}{x}=log_a e}\)

Co koniec końców daje \(\displaystyle{ g=+\infty}\)

Jak obliczyć pierwszą granice??

[Dasio11]

No właśnie dodałem do pierwszego posta ;p

[igotfeeling]

Faktycznie źle obliczyłem pochodną mianownika

Zatem będzie to

\(\displaystyle{ ...= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{lnsinx}{\frac{1}{tgx}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{cosx}{sinx}\cdot tg^2x \cdot cos^2 x= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} sinx\cdot cosx}\)

I co teraz? sinus dąży do jedynki a cosinus do zera :/

Po prostu 0?

[Dasio11]

Po prostu zero, ale pamiętaj, że to jest wykładnik :]

[igotfeeling]

Pamiętam pamiętam.
A gdybym miał taka sytuacje że był by \(\displaystyle{ \frac{1}{cosx}}\) ten sam limes to była by to nieskończoność? bo to jest 1 podzielone przez coś bardzo bardzo małego ale nie zero tak?:D

[Dasio11]

Tak, to by była nieskończoność