Witam.
Mam problem z ruszeniem równania :
\(\displaystyle{ \sqrt{xy} + x \frac{dy}{dx} = y}\)
Podnosiłem do kwadratu, robiłem podstawienia a i tak wychodzą głupoty.
Jakby ktoś miał pomysł co z tym zrobić (nie obrażę się za gotowe rozwiązanie) byłbym bardzo wdzięczny.
Pozdrawiam.
rozwiązać równanie różniczkowe
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
rozwiązać równanie różniczkowe
Najpierw wypadałoby podzielić przez \(\displaystyle{ x}\) i odpowiednio uporządkować, żeby coś zauważyć.
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y}{x}}}\)
Mamy równanie postaci \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\). Dalsze obliczenia pozostawiam Tobie - do rozwiązania będzie proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
Ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x \ln^2 \frac{C}{x}}\). Sprawdzenie dokonujesz przez wstawienie wyniku do równania.
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y}{x}}}\)
Mamy równanie postaci \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\). Dalsze obliczenia pozostawiam Tobie - do rozwiązania będzie proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
Ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x \ln^2 \frac{C}{x}}\). Sprawdzenie dokonujesz przez wstawienie wyniku do równania.
rozwiązać równanie różniczkowe
Wielkie dzieki Szemek.
Uratowałeś mnie .-- 25 lis 2009, o 19:20 --zacząłem rozwiązywać te zadanko i coś mi się wynik różni.
Znając mnie to gdzieś się machnąłem, albo coś źle policzyłem.
Jakby ktoś mógł zerknąć
\(\displaystyle{ \sqrt{x*y} + x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y /:x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x*y} }{x}+ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x*y}{ x^{2} }} + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{y}{x} } + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
----------------------
Podstawienie :
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + x + u}\)
----------------------
\(\displaystyle{ \sqrt{u} + x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + u = u}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{u} = -x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{u} }{-x} = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = \frac{ \mbox{d}x }{-x}}\)
=====
Całkuję obustronnie :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = 2 \sqrt{u} + C}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{-x} = -ln|x| + c}\)
=====
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{u} = -ln|x| + c /:2}\)
\(\displaystyle{ u = \left( \frac{-ln|x| + c}{2} \right) ^{2}}\)
No i na końcu wracam do podstawienia y=u*x
i wychodzi takie coś:
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{4}x \left(ln ^{2}|x| + c^{2} \right)}\)
Jakby nie patrzeć wynik jest podobny do wyniku Szemka. Ale "prawie" robi wielką różnicę.
Jak ktoś zauważył błąd to niech wskaże gdzie go popełniłem.
Uratowałeś mnie .-- 25 lis 2009, o 19:20 --zacząłem rozwiązywać te zadanko i coś mi się wynik różni.
Znając mnie to gdzieś się machnąłem, albo coś źle policzyłem.
Jakby ktoś mógł zerknąć
\(\displaystyle{ \sqrt{x*y} + x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y /:x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x*y} }{x}+ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x*y}{ x^{2} }} + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{y}{x} } + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\)
----------------------
Podstawienie :
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + x + u}\)
----------------------
\(\displaystyle{ \sqrt{u} + x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + u = u}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{u} = -x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{u} }{-x} = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = \frac{ \mbox{d}x }{-x}}\)
=====
Całkuję obustronnie :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = 2 \sqrt{u} + C}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{-x} = -ln|x| + c}\)
=====
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{u} = -ln|x| + c /:2}\)
\(\displaystyle{ u = \left( \frac{-ln|x| + c}{2} \right) ^{2}}\)
No i na końcu wracam do podstawienia y=u*x
i wychodzi takie coś:
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{4}x \left(ln ^{2}|x| + c^{2} \right)}\)
Jakby nie patrzeć wynik jest podobny do wyniku Szemka. Ale "prawie" robi wielką różnicę.
Jak ktoś zauważył błąd to niech wskaże gdzie go popełniłem.