Domknięcie zbioru

[piotrek2008]

Niech odległość \(\displaystyle{ d(x,A)=inf _{a \in A} d(x,a)}\). Udowodnić , że \(\displaystyle{ x \in cl A \Leftrightarrow d(x,a)=0}\)

[Ein]

W prawo. Bierz coraz mniejsze otoczenia \(\displaystyle{ x}\) i wybieraj z nich punkty należące do \(\displaystyle{ A}\). Otrzymasz ciąg zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).
W lewo nie wprost. Załóż, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ x}\) nie tnące się z \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(x,A)>0}\). Sprzeczność.