Całka zorientowana po elipsie

[wojtek6214]

Oblicz \(\displaystyle{ \oint ydx+2xdy}\) , gdzie łuk L jest elipsą \(\displaystyle{ 4x^{2}+y^{2}=4}\) zorientowaną ujemnie względem swojego wnętrza.

Nie wiem jak dobrać parametryzację uwzględniając ,ze ujemnie skierowana. Wszystko mi się myli.

Z góry dziękuję za pomoc

[Chromosom]

Stosowanie twierdzenia Greena do tej krzywej nie różni się niczym od stosowania go do krzywej zorientowanej dodatnio, z tym, że końcowy wynik mnożymy przez czynnik \(\displaystyle{ -1}\). Spróbuj dobrać parametryzację tak, jak do "normalnej" krzywej, w razie problemów pytaj.

[wojtek6214]

A gdybym chciał to uczynić nie z tw. Greena, to jak zparametryzować?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ x=\cos t\\ y=2\sin t\\ \mbox{d}x=-\sin t\mbox{d}t\\ \mbox{d}y=2\cos t\mbox{d}t\\ 0\le t\le2\pi\\ \oint y\mbox{d}x+2x\mbox{d}y=\int\limits^{2\pi}_0\left(2\sin t\left(-\sin t\right)+2\cos t\left(2\cos t\right)\right)\mbox{d}t=...}\)
końcowy wynik musisz pomnożyć przez czynnik -1.

[wojtek6214]

A gdybym chciał od razu zrobić parametryzację dla skierowanej ujemnie ( bo Ty zrobiłeś dla dodatniej), więc musiałbym granice zmienić na: od -2pi do 0 , no i jeszcze zamiast x(t) i y(t) wstawić x(-t) i y(-t) ?
Dobrze myślę?

[Chromosom]

W takim przypadku "zamieniasz" górną granicę całkowania z dolną; wtedy parametr zmienia się według zależności \(\displaystyle{ 2\pi\le t\le0}\), a co za tym idzie - skierowanie krzywej jest ujemne. Widać zresztą, że jest to po prostu inny sposób zapisania końcowego wyniku, ponieważ zachodzi
\(\displaystyle{ -\int\limits^a_bf(x)\mbox{d}x=\int\limits^b_af(x)\mbox{d}x}\)
możesz też wstawić \(\displaystyle{ x(-t),y(-t),-2\pi\le t\le 0}\), wtedy będzie
\(\displaystyle{ x=\cos\left(-t\right)\\ y=2\sin\left(-t\right)}\)
otrzymasz dokładnie tę samą krzywą (skierowaną ujemnie), ale nie ma takiej potrzeby - w matematyce dążymy do tego, by było jak najprościej:)

[wojtek6214]

W takim razie po co jest informacja w treści zadania, żę skierowana ujemnie , skoro potem i tak musze policzyć jak dla skierowanej dodatnio . Nie lepiej od razu parametryzować jak dla dodatniej?

[Chromosom]

Najlepiej właśnie zrobić tak, jak zrobiłem na początku - parametryzować jak skierowaną dodatnio i pomnożyć końcowy wynik przez -1. Informacja na temat skierowania krzywej jest istotna - weźmy np. interpretację fizyczną całki krzywoliniowej skierowanej. Wtedy np. od skierowania krzywej może zależeć, czy przy danym przesunięciu ciała praca wykonana przez siłę jest ujemna (energia musi być dostarczona), czy dodatnia (energia może być uzyskana).

[wojtek6214]

Podsumowując:
Gdy mam za zadanie obliczyć całkę ujemnie zorientowaną
1) tylko w przypadku tw. Greena mnożymy przez (-1) całkę sparametryzowaną dodatnio,

2)gdy nie stosuję tw. Greena to jeżeli mam sparametryzowaną ujemnie to jak policzę z tego całkę to mnożę przez (-1) i to jest końcowym wynikiem?Lub też od razu mogę sparametryzować dodatnie i po kłopocie?

Pozdrawiam i dziękuję za cierpliwość

[Chromosom]

Nie ma problemu, lubię pomagać;)
1. tak jest najłatwiej, oczywiście mnożymy przez -1 tylko wynik całki po krzywej zorientowanej ujemnie
2. jeśli masz sparametryzowaną ujemnie i pomnożysz przez -1, wyjdzie Ci całka po krzywej zorientowanej dodatnio, bo dwa minusy dają plus, robisz albo jedno albo drugie.