rozwiązać równanie różniczkowe

[Szemek]

Mam do rozwiązania takie równanie różniczkowe i nie mam pomysłu jak je ugryźć.

Znajdź całkę ogólną równania różniczkowego
\(\displaystyle{ 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \sin x + y \cos x = y^3 (x\cos x - \sin x)}\)

Będę wdzięczny przede wszystkim za wskazówki.

[luka52]

Równanie Bernoulliego - podziel wpierw przez \(\displaystyle{ y^3}\) i podstaw \(\displaystyle{ p = y^{-2}}\).

[Szemek]

Dzięki.

Poniżej zamieszczam swoje rozwiązanie.
\(\displaystyle{ 2\frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = y^3(x\cos x - \sin x) \\
2y^{-3} \frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = x\cos x - \sin x \\
p = y^{-2} \\
\frac{dp}{dx} = -2y^{-3} \frac{dy}{dx} \\
-\frac{dp}{dx}\sin x + p\cos x = x\cos x - \sin x \\
\frac{dp}{dx} - \frac{\cos x}{\sin x} p = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x}}\)
Rozwiązuję równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} p \\
\frac{dp}{p} = \frac{\cos x}{\sin x} dx \\
\ln|p| = \ln|C\sin x| \\
p = C\sin x}\)
Metoda uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ p = C(x)\sin x \\
\frac{dp}{dx} = C'(x)\sin x + C(x)\cos x \\
C'(x)\sin x + C(x)\cos x - C(x)\cos x = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x} \\
C'(x) = \frac{1}{\sin x} - x\frac{\cos x}{\sin^2 x} \\
C(x) = \frac{x}{\sin x} + C_1}\)

\(\displaystyle{ p = x + C_1\sin x \\
y^{-2} = x + C_1\sin x \\
y^2 = \frac{1}{x + C_1 \sin x}}\)