Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Marcin_z106 · Post autor: **Marcin_z106** » 19 lis 2009, o 20:08

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 6.
Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 2, 7 i 24 , to otrzymamy ciąg geometryczny.
Wyznacz te liczby.

Post autor: **Chromosom** » 19 lis 2009, o 20:13

Czy próbowałeś zapisać dane zadania w równaniach, korzystając z definicji ciągów geometrycznego i arytmetycznego?

Marcin_z106 · Post autor: **Marcin_z106** » 19 lis 2009, o 20:27

Próbowałem coś robić ale zbytnio nie wiedziałem co z tym zrobić.

Post autor: **Chromosom** » 19 lis 2009, o 20:32

Definicja ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+r=a_1+r\left(n-1\right)}\)
definicja ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_nq=a_1q^n}\)
jeśli suma trzech wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 6, korzystając z definicji, można to zapisać następująco:
\(\displaystyle{ a_1+a_1+r+a_1+2r=6}\)
w celu zapisania drugiego równania, skorzystaj z zależności wynikającej z definicji ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2}\)
spróbuj coś wykombinować, w razie problemów pytaj.

Marcin_z106 · Post autor: **Marcin_z106** » 19 lis 2009, o 20:49

Z pierwszej zależności wyszło mi a+r=2
i jeśli dobrze zrobiłerm to z drugiego 2aqq-14aq+24a-1=0

i co dalej???

Post autor: **Chromosom** » 19 lis 2009, o 20:52

Pierwszą masz dobrze, co do drugiej, to nie wiem, jak to ma wyglądać, zapisz to za pomocą LaTeX-a.

Marcin_z106 · Post autor: **Marcin_z106** » 19 lis 2009, o 20:58

\(\displaystyle{ 2a _{1} q^{2} -14 a_{1}q+24 a_{1} -1=0}\)

Post autor: **Chromosom** » 19 lis 2009, o 21:11

Zależność ta nie prowadzi do rozwiązania zadania i wiele komplikuje, nie ma sensu tak sobie utrudniać.
Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1+r=2\\ a_1a_3=a_2^2\end{cases}}\)
teraz wystarczy podstawić odpowiednie wartości z danych zadania, powstałe już po dodaniu odpowiednich liczb.