Udowodnij zbieżność

[gower9]

Zadanie jest takie:
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \{na_{n}\}_{n\geqslant 1}}\) jest ograniczony, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n})^{2}}\) jest zbieżny.

Próbowałem z Kryterium Dirichleta, ale nie wiem, jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} (na_{n})^{2}}\) jest ograniczony. Ktoś ma jakiś pomysł?

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ na_n \leq M}\) , to
\(\displaystyle{ a_n^2 \leq \frac{M^2}{n^2}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{M^2}{n^2}}\) jest zbieżny, więc z kryterium porównawczego wyjściowy też jest zbieżny.

Q.

[gower9]

Dzięki, nie pomyślałem o tym...

[fab]

edit: do usuniecia

[Duke]

A skad wiesz ze \(\displaystyle{ a_{n} \ge 0}\) bo tak bezkarnie podnosisz do kwadratu.


Bo tak, jak a_n zbiezny do czegos ujemnego to i M ujemne, a jak zbiezny do dodatniego to i M dodatnie, tak mam to rozumiec. A ze M dobieramy dowolne to dla ujemnych zawsze mozemy wziac takie M by pierwsza nierownosc byla spelniona? Dobrze mysle?

[Qń]

Słusznie, ściślej będzie powiedzieć, że skoro \(\displaystyle{ na_n}\) ograniczony, to istnieje \(\displaystyle{ M}\) takie, że \(\displaystyle{ |na_n| \leq M}\).

Q.